Misure del campo magnetico con la forza su un filo

Theory used: Definizione operativa del campo magnetico Forza su un filo rettilineo Campo magnetico terrestre Regola della mano destra

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Esercizio 1

Un tratto di filo rettilineo lungo $5{,}0\,\mathrm{cm}$ , percorso dalla corrente $I = 1{,}6\,\mathrm{A}$ , si trova tra i poli di una calamita. Ruotando il filo si osserva che la forza è nulla quando il filo è parallelo alla direzione indicata da un ago magnetico, ed è massima quando il filo è perpendicolare a quella direzione; il valore massimo è $F_{\max} = 2{,}4\,\mathrm{mN}$ . Determina il modulo del campo magnetico tra i poli e calcola la forza sul filo quando forma un angolo di $45^\circ$ con il campo.

B = \frac{F_{\max}}{I \ell} , \qquad F = I \ell B \sin\alpha = F_{\max} \sin\alpha

\begin{aligned} B &= \frac{2{,}4 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{N}}{1{,}6\,\mathrm{A} \cdot 0{,}050\,\mathrm{m}} = \frac{2{,}4 \cdot 10^{-3}}{0{,}080}\,\mathrm{T} = 3{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{T} \\[6pt] F &= 2{,}4 \cdot 10^{-3} \cdot \sin 45^\circ\,\mathrm{N} \approx 1{,}7 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{N} \end{aligned}

Le osservazioni descritte sono quelle della definizione operativa del campo magnetico. La direzione in cui la forza è nulla è la direzione del campo, e il modulo del campo è il rapporto tra la forza massima e il prodotto $I \ell$ . Con la forza in newton, $2{,}4\,\mathrm{mN} = 2{,}4 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{N}$ , e la lunghezza in metri, si ottiene $B = 3{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{T}$ , cioè $30\,\mathrm{mT}$ , un valore tipico per una calamita da laboratorio.

Per un angolo qualsiasi si applica la legge della forza su un filo rettilineo. Poiché $I \ell B = F_{\max}$ , la forza è $F_{\max} \sin\alpha$ , e con $\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707$ vale circa $1{,}7\,\mathrm{mN}$ .

Esercizio 2

Per misurare il campo magnetico tra i poli di una calamita si usa un tratto di filo lungo $\ell = 8{,}0\,\mathrm{cm}$ , perpendicolare al campo, e si misura la forza sul filo per diversi valori della corrente. I risultati sono nella tabella.

$I$ ( $\mathrm{A}$ )	$1{,}0$	$2{,}0$	$3{,}0$	$4{,}0$	$5{,}0$
$F$ ( $\mathrm{mN}$ )	$12{,}5$	$23{,}5$	$36{,}5$	$47{,}0$	$60{,}5$

Rappresenta i dati in un grafico con $I$ sull’asse orizzontale e $F$ sull’asse verticale, e spiega perché i punti stanno vicino a una retta passante per l’origine.
Ricava dal grafico il modulo del campo magnetico.
Calcola la pendenza della retta che si otterrebbe ripetendo le misure con il filo inclinato di $30^\circ$ rispetto al campo.

F = 12\,I

Forza sul filo, in millinewton, in funzione della corrente, in ampere: i punti sperimentali stanno vicino alla retta per l'origine di pendenza

12 mN/A

F = \ell B \cdot I \qquad\Longrightarrow\qquad \text{pendenza} = \ell B \qquad\Longrightarrow\qquad B = \frac{\text{pendenza}}{\ell}

\text{pendenza} = \frac{60\,\mathrm{mN} - 0}{5{,}0\,\mathrm{A} - 0} = 12\,\mathrm{mN/A} = 1{,}2 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{N/A}

B = \frac{1{,}2 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{N/A}}{0{,}080\,\mathrm{m}} = 0{,}15\,\mathrm{T}

\text{pendenza}_{30^\circ} = \ell B \sin 30^\circ = 12\,\mathrm{mN/A} \cdot 0{,}50 = 6{,}0\,\mathrm{mN/A}

Il filo è perpendicolare al campo, quindi per la legge della forza su un filo rettilineo si ha $F = I \ell B$ . A lunghezza e campo fissati, il prodotto $\ell B$ è costante, perciò $F$ è direttamente proporzionale a $I$ , e il grafico di $F$ in funzione di $I$ è una retta passante per l’origine, con pendenza $\ell B$ . I punti misurati non stanno esattamente sulla retta, perché ogni misura ha un errore sperimentale.

Si traccia la retta per l’origine che passa il più vicino possibile ai punti; nel grafico questa retta passa per il punto $(5{,}0\,\mathrm{A};\ 60\,\mathrm{mN})$ . La sua pendenza è perciò $12\,\mathrm{mN/A}$ , cioè $1{,}2 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{N/A}$ . Poiché la pendenza è uguale a $\ell B$ , dividendo per $\ell = 0{,}080\,\mathrm{m}$ si ottiene $B = 0{,}15\,\mathrm{T}$ . Il risultato si può controllare su un punto della tabella. Con $I = 3{,}0\,\mathrm{A}$ la legge dà $F = 3{,}0 \cdot 0{,}080 \cdot 0{,}15\,\mathrm{N} = 36\,\mathrm{mN}$ , vicino al valore misurato di $36{,}5\,\mathrm{mN}$ .

Con il filo inclinato di $30^\circ$ la forza diventa $F = I \ell B \sin 30^\circ$ , quindi la proporzionalità con la corrente resta, e la pendenza è moltiplicata per $\sin 30^\circ = 0{,}50$ . La nuova retta ha pendenza $6{,}0\,\mathrm{mN/A}$ .

Esercizio 3

Una linea elettrica rettilinea orizzontale è lunga $50\,\mathrm{m}$ , è diretta da ovest verso est ed è percorsa dalla corrente continua $I = 200\,\mathrm{A}$ nel verso da ovest verso est. Nel luogo in cui si trova il campo magnetico terrestre ha modulo $B = 4{,}5 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , è diretto verso nord e verso il basso e forma con il piano orizzontale un angolo di $60^\circ$ . Calcola il modulo della forza sulla linea e determinane la direzione e il verso.

Sezione verticale nord-sud: la corrente esce dal foglio (

⊙

) verso est, il campo terrestre è inclinato di

6 0^{\circ}

sotto l'orizzontale e la forza, perpendicolare al campo, è inclinata di

3 0^{\circ}

sopra l'orizzontale verso nord

F = I \ell B \sin\alpha , \qquad \alpha = 90^\circ

F = 200 \cdot 50 \cdot 4{,}5 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{N} = 0{,}45\,\mathrm{N}

F_{\text{nord}} = F \cos 30^\circ \approx 0{,}39\,\mathrm{N} , \qquad F_{\text{alto}} = F \sin 30^\circ \approx 0{,}23\,\mathrm{N}

La linea è diretta da ovest a est, mentre il campo giace nel piano verticale nord-sud. Ogni vettore di quel piano è perpendicolare alla direzione est-ovest, quindi il filo è perpendicolare al campo e $\alpha = 90^\circ$ . Per la legge della forza su un filo rettilineo la forza ha perciò modulo $I \ell B = 0{,}45\,\mathrm{N}$ . Il valore è piccolo per una linea lunga $50\,\mathrm{m}$ , perché il campo terrestre è debole.

La forza è perpendicolare al filo, quindi giace anch’essa nel piano verticale nord-sud, ed è perpendicolare al campo. Nella figura il piano del foglio è il piano nord-sud e la corrente esce dal foglio. Per la regola della mano destra si dispone il pollice fuori dal foglio, nel verso della corrente, e le dita lungo il campo, verso nord e verso il basso; il palmo è rivolto verso nord e verso l’alto. Il campo forma $60^\circ$ con l’orizzontale e la forza è perpendicolare al campo, quindi la forza forma con l’orizzontale l’angolo $90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ , verso l’alto.

La forza di $0{,}45\,\mathrm{N}$ è perciò diretta verso nord e verso l’alto, a $30^\circ$ sopra l’orizzontale. La sua componente orizzontale verso nord vale circa $0{,}39\,\mathrm{N}$ e la componente verticale verso l’alto circa $0{,}23\,\mathrm{N}$ .