Estremi vincolati con i moltiplicatori di Lagrange

Le funzioni $f$ e $g(x,y)=x^2+y^2-25$ sono polinomi, e $\nabla g=(2x,2y)$ si annulla solo nell’origine, che non sta sul vincolo; quindi in ogni estremo vincolato vale la condizione del teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Nella prima equazione $\lambda$ non può essere $0$, perché si avrebbe $3=0$; si ricavano perciò $x$ e $y$ in funzione di $\lambda$ e si sostituiscono nel vincolo, che dà $\lambda =\pm \frac{1}{2}$.

I candidati sono $(3,4)$ e $(-3,-4)$. La circonferenza è chiusa e limitata e $f$ è continua, quindi per il teorema di Weierstrass $f$ ha sul vincolo un massimo e un minimo, che devono stare tra i candidati. Il massimo è $25$ in $(3,4)$ e il minimo è $-25$ in $(-3,-4)$. Nel punto di massimo il gradiente $\nabla f=(3,4)$ è diretto come il raggio, quindi la retta di livello $3x+4y=25$ è tangente alla circonferenza, come mostra la figura.

Come nell’esercizio precedente, $\nabla g=(2x,2y)$ non si annulla sul vincolo, quindi gli estremi sono tra le soluzioni del sistema di Lagrange. La prima equazione si scrive $2x(y-\lambda )=0$ e si spezza in due casi.

Se $x=0$, il vincolo dà $y=\pm \sqrt{3}$, e la seconda equazione è soddisfatta con $\lambda =0$; in questi punti $f=0$. Se $y=\lambda$, la seconda equazione diventa $x^2=2y^2$, e sostituendo nel vincolo si ottiene $3y^2=3$, cioè $y=\pm 1$ e $x^2=2$. Si ottengono quattro punti, nei quali $f=x^{2}y=2y$ vale $2$ oppure $-2$. La circonferenza è chiusa e limitata, quindi il massimo vincolato è $2$, nei punti $\left(\pm \sqrt{2},1\right)$, e il minimo è $-2$, nei punti $\left(\pm \sqrt{2},-1\right)$. I punti $\left(0,\pm \sqrt{3}\right)$ soddisfano la condizione di Lagrange ma non sono estremi assoluti sul vincolo.

Il gradiente del vincolo è $\nabla g=(2x,8y)$, nullo solo nell’origine, che non sta sull’ellisse; il teorema dei moltiplicatori di Lagrange si applica quindi in ogni punto del vincolo. Sostituendo la seconda equazione nella prima si ottiene $y=2\lambda \cdot 8\lambda y=16{\lambda }^{2}y$. Il caso $y=0$ porterebbe a $x=0$, escluso, perciò $y\ne 0$ e si può dividere per $y$, ottenendo $\lambda =\pm \frac{1}{4}$.

Con $\lambda =\frac{1}{4}$ la prima equazione dà $y=\frac{x}{2}$, e il vincolo diventa $x^2+x^2=8$, cioè $x=\pm 2$. Con $\lambda =-\frac{1}{4}$ si ha $y=-\frac{x}{2}$, e si ottengono gli altri due punti. L’ellisse è chiusa e limitata, quindi il confronto dei valori dà il massimo $2$ e il minimo $-2$.