Esercizi svolti · Scheda 1

Punti stazionari e test dell'hessiana

Teoria usata: Punto stazionario Teorema di Fermat in due variabili Test dell'hessiana Punto di sella

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Esercizio 1

Determinare e classificare i punti stazionari di

f(x, y) = x^2 + xy + y^2 - 3x .

\begin{cases} f_x = 2x + y - 3 = 0 \\[4pt] f_y = x + 2y = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = -2y \\[4pt] -4y + y - 3 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = 2 \\[4pt] y = -1 \end{cases}

f_{xx} = 2, \qquad f_{xy} = 1, \qquad f_{yy} = 2

H(2, -1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \det H(2, -1) = 4 - 1 = 3 > 0, \qquad f_{xx} = 2 > 0

f(2, -1) = 4 - 2 + 1 - 6 = -3

La funzione è un polinomio, quindi ha derivate parziali in ogni punto del piano, e per il teorema di Fermat in due variabili i suoi estremi relativi sono tra i punti in cui il gradiente è nullo. Dalla seconda equazione si ricava $x = -2y$ ; sostituendo nella prima si ottiene $-3y - 3 = 0$ , cioè $y = -1$ , e quindi $x = 2$ . L’unico punto stazionario è $(2, -1)$ .

Le derivate seconde sono costanti, perciò l’hessiana è la stessa in ogni punto. Il suo determinante è positivo e $f_{xx}$ è positiva, quindi per il test dell’hessiana il punto $(2, -1)$ è di minimo relativo, con valore $f(2, -1) = -3$ .

Esercizio 2

Determinare e classificare i punti stazionari di

f(x, y) = x^3 - 3x + y^2 - 2y .

\begin{cases} f_x = 3x^2 - 3 = 0 \\[4pt] f_y = 2y - 2 = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x = \pm 1 \\[4pt] y = 1 \end{cases}

f_{xx} = 6x, \qquad f_{xy} = 0, \qquad f_{yy} = 2

H(1, 1) = \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \det H(1, 1) = 12 > 0, \qquad f_{xx}(1, 1) = 6 > 0

H(-1, 1) = \begin{pmatrix} -6 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \qquad \det H(-1, 1) = -12 < 0

f(1, 1) = 1 - 3 + 1 - 2 = -3, \qquad f(-1, 1) = -1 + 3 + 1 - 2 = 1

Le due equazioni del sistema contengono ciascuna una sola variabile, quindi si risolvono separatamente. La prima dà $x^2 = 1$ , cioè $x = 1$ oppure $x = -1$ ; la seconda dà $y = 1$ . I punti stazionari sono perciò $(1, 1)$ e $(-1, 1)$ .

La derivata $f_{xx} = 6x$ dipende dal punto, quindi l’hessiana va calcolata in ciascuno. In $(1, 1)$ il determinante è positivo e $f_{xx} > 0$ , perciò il punto è di minimo relativo, con valore $-3$ . In $(-1, 1)$ il determinante è negativo, perciò il punto è di sella. Come controllo, lungo la retta $y = 1$ la funzione vale $x^3 - 3x - 1$ , che ha un massimo in $x = -1$ , mentre lungo la retta $x = -1$ vale $y^2 - 2y + 2$ , che ha un minimo in $y = 1$ .

Esercizio 3

Determinare e classificare i punti stazionari di

f(x, y) = x^2 y - 2xy + y^2 .

\begin{cases} f_x = 2xy - 2y = 2y\,(x - 1) = 0 \\[4pt] f_y = x^2 - 2x + 2y = 0 \end{cases}

y = 0: \quad x^2 - 2x = 0 \iff x = 0 \ \text{ oppure } \ x = 2

x = 1: \quad 1 - 2 + 2y = 0 \iff y = \frac{1}{2}

f_{xx} = 2y, \qquad f_{xy} = 2x - 2, \qquad f_{yy} = 2

\begin{aligned} H(0, 0) &= \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}, &\quad \det H(0, 0) &= -4 < 0 \\[6pt] H(2, 0) &= \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, &\quad \det H(2, 0) &= -4 < 0 \\[6pt] H\left( 1, \frac{1}{2} \right) &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, &\quad \det H\left( 1, \frac{1}{2} \right) &= 2 > 0 \end{aligned}

f\left( 1, \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} - 1 + \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}

La prima equazione è un prodotto uguale a zero, quindi si spezza in due casi, $y = 0$ oppure $x = 1$ , e ciascun caso si sostituisce nella seconda equazione. Con $y = 0$ la seconda diventa $x^2 - 2x = x\,(x - 2) = 0$ , che dà $x = 0$ e $x = 2$ . Con $x = 1$ la seconda diventa $2y - 1 = 0$ , che dà $y = \dfrac{1}{2}$ . I punti stazionari sono quindi tre, $(0, 0)$ , $(2, 0)$ e $\left( 1, \dfrac{1}{2} \right)$ .

Nei punti $(0, 0)$ e $(2, 0)$ il determinante dell’hessiana è negativo, perciò per il test dell’hessiana sono due punti di sella. Nel punto $\left( 1, \dfrac{1}{2} \right)$ il determinante è positivo e $f_{xx} = 1 > 0$ , perciò il punto è di minimo relativo, con valore $-\dfrac{1}{4}$ . Il minimo non è assoluto, perché lungo la retta $x = 3$ la funzione vale $3y + y^2$ , e in $y = -\dfrac{3}{2}$ questo valore è $-\dfrac{9}{4}$ , minore di $-\dfrac{1}{4}$ .