Potenze con lo stesso esponente e cambi di base

Theory used: Potenza di un prodotto e di un quoziente Potenza di una potenza Quoziente di potenze con la stessa base

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Esercizio 1

Calcola $2^4 \cdot 5^4$ .

\begin{aligned} 2^4 \cdot 5^4 &= (2 \cdot 5)^4 \\[6pt] &= 10^4 \\[6pt] &= 10\,000 \end{aligned}

Le due potenze hanno basi diverse ma lo stesso esponente $4$ . Per la regola della potenza di un prodotto, letta da destra a sinistra, il prodotto si calcola moltiplicando le basi e lasciando l’esponente. Poiché $2 \cdot 5 = 10$ , si ottiene $10^4$ .

La potenza $10^4$ si scrive con la cifra $1$ seguita da quattro zeri, quindi il risultato è $10\,000$ . Il calcolo diretto $16 \cdot 625$ dà lo stesso numero.

Esercizio 2

Calcola

\left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3 .

\begin{aligned} \left( \frac{2}{5} \right)^3 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^3 &= \left( \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} \right)^3 \\[6pt] &= \left( \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 4} \right)^3 \\[6pt] &= \left( \frac{2}{4} \right)^3 \\[6pt] &= \left( \frac{1}{2} \right)^3 \\[6pt] &= \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8} \end{aligned}

Le due potenze hanno lo stesso esponente $3$ , quindi per la potenza di un prodotto si moltiplicano prima le basi. Nel prodotto delle due frazioni il fattore $5$ compare al numeratore e al denominatore, perciò si semplifica e resta $\dfrac{2}{4}$ .

La frazione $\dfrac{2}{4}$ ridotta ai minimi termini è $\dfrac{1}{2}$ . Per la potenza di un quoziente si elevano al cubo il numeratore e il denominatore; poiché $1^3 = 1$ e $2^3 = 8$ , il risultato è $\dfrac{1}{8}$ .

Esercizio 3

Calcola

\frac{6^5}{2^5 \cdot 3^3} .

\begin{aligned} \frac{6^5}{2^5 \cdot 3^3} &= \frac{(2 \cdot 3)^5}{2^5 \cdot 3^3} \\[6pt] &= \frac{2^5 \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^3} \\[6pt] &= \frac{3^5}{3^3} \\[6pt] &= 3^{5-3} \\[6pt] &= 3^2 = 9 \end{aligned}

La base $6$ si scrive come prodotto $2 \cdot 3$ . Per la regola della potenza di un prodotto si ha $6^5 = 2^5 \cdot 3^5$ .

Il fattore $2^5$ compare al numeratore e al denominatore, quindi si semplifica, perché $\dfrac{2^5}{2^5} = 1$ . Resta il quoziente $\dfrac{3^5}{3^3}$ , in cui si sottraggono gli esponenti. Poiché $5 - 3 = 2$ , il risultato è $3^2 = 9$ .

Esercizio 4

Calcola

\frac{4^3 \cdot 9^2}{6^4} .

\begin{aligned} \frac{4^3 \cdot 9^2}{6^4} &= \frac{\left( 2^2 \right)^3 \cdot \left( 3^2 \right)^2}{2^4 \cdot 3^4} \\[6pt] &= \frac{2^6 \cdot 3^4}{2^4 \cdot 3^4} \\[6pt] &= 2^{6-4} \\[6pt] &= 2^2 = 4 \end{aligned}

Le basi $4$ , $9$ e $6$ si scrivono con i numeri primi $2$ e $3$ . Poiché $4 = 2^2$ e $9 = 3^2$ , per la potenza di una potenza si ha $4^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$ e $9^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$ . Poiché $6 = 2 \cdot 3$ , per la potenza di un prodotto si ha $6^4 = 2^4 \cdot 3^4$ .

Il fattore $3^4$ compare al numeratore e al denominatore, quindi si semplifica. Resta $\dfrac{2^6}{2^4}$ , e per la regola del quoziente l’esponente è $6 - 4 = 2$ . Il risultato è perciò $2^2 = 4$ .