Razionalizzazioni con denominatore radice quadrata

Theory used: Razionalizzazione Portare un fattore fuori dal segno di radice Radicali simili

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Esercizio 1

Razionalizza

\frac{14}{\sqrt{7}} .

\begin{aligned} \frac{14}{\sqrt{7}} &= \frac{14 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} \\[6pt] &= \frac{14\sqrt{7}}{7} \\[6pt] &= 2\sqrt{7} \end{aligned}

Il denominatore è $\sqrt{7}$ , quindi si moltiplicano il numeratore e il denominatore per $\sqrt{7}$ . Per la proprietà invariantiva delle frazioni la frazione ottenuta è equivalente a quella di partenza.

Al denominatore si ha $\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7$ , perché il quadrato di una radice quadrata è il radicando. Il numero $14$ è divisibile per $7$ , con quoziente $2$ , perciò la frazione si semplifica e il risultato è $2\sqrt{7}$ .

Esercizio 2

Razionalizza

\frac{5}{2\sqrt{10}} .

\begin{aligned} \frac{5}{2\sqrt{10}} &= \frac{5 \cdot \sqrt{10}}{2\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} \\[6pt] &= \frac{5\sqrt{10}}{2 \cdot 10} \\[6pt] &= \frac{5\sqrt{10}}{20} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{10}}{4} \end{aligned}

Al denominatore la sola radice è $\sqrt{10}$ , mentre il fattore $2$ è già un numero intero. Si moltiplicano quindi il numeratore e il denominatore per $\sqrt{10}$ . Il denominatore diventa $2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 2 \cdot 10 = 20$ .

Il numeratore $5\sqrt{10}$ e il denominatore $20$ hanno il fattore comune $5$ . Dividendo entrambi per $5$ si ottiene $\dfrac{\sqrt{10}}{4}$ .

Esercizio 3

Razionalizza

\frac{3}{\sqrt{12}} .

\begin{aligned} \frac{3}{\sqrt{12}} &= \frac{3}{2\sqrt{3}} \\[6pt] &= \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \\[6pt] &= \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} \\[6pt] &= \frac{3\sqrt{3}}{6} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}

Prima di razionalizzare si semplifica la radice al denominatore. Poiché $12 = 4 \cdot 3$ , portando fuori il fattore si ha $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ .

La radice al denominatore è ora $\sqrt{3}$ , quindi si moltiplicano il numeratore e il denominatore per $\sqrt{3}$ . Il denominatore diventa $2 \cdot 3 = 6$ e il numeratore $3\sqrt{3}$ . Il fattore comune $3$ si semplifica, e il risultato è $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ .

Esercizio 4

Calcola

\frac{6}{\sqrt{3}} - \sqrt{27} + \frac{\sqrt{3}}{3} .

\begin{aligned} \frac{6}{\sqrt{3}} - \sqrt{27} + \frac{\sqrt{3}}{3} &= \frac{6\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \\[6pt] &= 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \\[6pt] &= \frac{6\sqrt{3} - 9\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} \\[6pt] &= \frac{(6 - 9 + 1)\sqrt{3}}{3} \\[6pt] &= -\frac{2\sqrt{3}}{3} \end{aligned}

Il primo termine ha una radice al denominatore. Moltiplicando il numeratore e il denominatore per $\sqrt{3}$ si ottiene $\dfrac{6\sqrt{3}}{3}$ , che si semplifica in $2\sqrt{3}$ . Il secondo termine si semplifica portando fuori il fattore, perché $27 = 9 \cdot 3$ e quindi $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ .

I tre termini contengono tutti $\sqrt{3}$ e si sommano con il denominatore comune $3$ . Si scrive $2\sqrt{3} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}$ e $3\sqrt{3} = \dfrac{9\sqrt{3}}{3}$ . Al numeratore i radicali simili si sommano, e poiché $6 - 9 + 1 = -2$ il risultato è $-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$ .