Radici quadrate e cubiche di numeri interi e di frazioni

Theory used: Radice quadrata Radice cubica Radice cubica di un numero negativo e cubi perfetti Quadrati perfetti Stima di una radice quadrata

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Esercizio 1

Calcola

\sqrt{144} , \qquad \sqrt{\frac{49}{81}} , \qquad \sqrt[3]{-64} .

\sqrt{144} = 12 \qquad \text{perché } 12 \geq 0 \text{ e } 12^2 = 144

\sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9} \qquad \text{perché } \frac{7}{9} \geq 0 \text{ e } \left( \frac{7}{9} \right)^2 = \frac{49}{81}

\sqrt[3]{-64} = -4 \qquad \text{perché } (-4)^3 = -64

Il numero $144$ compare tra i quadrati dei numeri da $1$ a $15$ , ed è il quadrato di $12$ . Poiché $12$ è positivo, per la definizione di radice quadrata si ha $\sqrt{144} = 12$ .

Una frazione si eleva al quadrato elevando il numeratore e il denominatore. Poiché $7^2 = 49$ e $9^2 = 81$ , il quadrato di $\dfrac{7}{9}$ è $\dfrac{49}{81}$ , quindi $\sqrt{\dfrac{49}{81}} = \dfrac{7}{9}$ .

La radice cubica esiste anche per i numeri negativi. Il cubo di $-4$ è $(-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$ , perciò $\sqrt[3]{-64} = -4$ .

Esercizio 2

Calcola $\sqrt{1764}$ con la scomposizione in fattori primi.

\begin{array}{r|l} 1764 & 2 \\ 882 & 2 \\ 441 & 3 \\ 147 & 3 \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}

1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2

\sqrt{1764} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

Nella scomposizione in colonna si divide ogni volta per il più piccolo numero primo che divide il numero. Il numero $1764$ è pari, quindi si divide per $2$ e si ottiene $882$ , che è ancora pari e dà $441$ . La somma delle cifre di $441$ è $9$ , perciò $441$ è divisibile per $3$ e dà $147$ ; per lo stesso motivo $147$ dà $49$ . Infine $49 = 7 \cdot 7$ .

Nella scomposizione $1764 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^2$ ogni esponente è pari, quindi $1764$ è un quadrato perfetto. La radice si ottiene dimezzando gli esponenti, e si ha $\sqrt{1764} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$ . Il risultato è corretto, perché $42^2 = 1764$ .

Esercizio 3

Calcola $\sqrt[3]{2744}$ con la scomposizione in fattori primi.

\begin{array}{r|l} 2744 & 2 \\ 1372 & 2 \\ 686 & 2 \\ 343 & 7 \\ 49 & 7 \\ 7 & 7 \\ 1 & \end{array}

2744 = 2^3 \cdot 7^3

\sqrt[3]{2744} = 2 \cdot 7 = 14

Il numero $2744$ si divide tre volte per $2$ e si ottiene $343$ . Il numero $343$ è dispari e non è divisibile per $3$ né per $5$ , mentre $343 = 7 \cdot 49 = 7 \cdot 7 \cdot 7$ . Quindi $2744 = 2^3 \cdot 7^3$ .

Ogni esponente è un multiplo di $3$ , perciò $2744$ è un cubo perfetto. La radice cubica si ottiene dividendo gli esponenti per $3$ , e si ha $\sqrt[3]{2744} = 2 \cdot 7 = 14$ . Il risultato è corretto, perché $14^3 = 196 \cdot 14 = 2744$ .

Esercizio 4

Determina tra quali numeri interi consecutivi si trova $\sqrt{58}$ , e poi tra quali numeri con una cifra decimale.

7^2 = 49 , \qquad 8^2 = 64

49 < 58 < 64 \quad \Longrightarrow \quad 7 < \sqrt{58} < 8

7{,}6^2 = 57{,}76 , \qquad 7{,}7^2 = 59{,}29

57{,}76 < 58 < 59{,}29 \quad \Longrightarrow \quad 7{,}6 < \sqrt{58} < 7{,}7

Sotto la retta i numeri

7

7, 6

7, 7

8

, sopra i loro quadrati: poiché

58

è compreso tra

57, 76

59, 29

, il numero

58

è compreso tra

7, 6

7, 7

Tra due numeri positivi, quello che ha il quadrato più grande è il più grande. I quadrati perfetti più vicini a $58$ sono $49 = 7^2$ e $64 = 8^2$ . Poiché $58$ è compreso tra $49$ e $64$ , la radice $\sqrt{58}$ è compresa tra $7$ e $8$ .

Il numero $58$ è più vicino a $64$ che a $49$ , quindi si provano i decimali da $7{,}5$ in su. Si ha $7{,}6^2 = 7{,}6 \cdot 7{,}6 = 57{,}76$ , che è minore di $58$ , e $7{,}7^2 = 7{,}7 \cdot 7{,}7 = 59{,}29$ , che è maggiore di $58$ . Perciò $\sqrt{58}$ è compresa tra $7{,}6$ e $7{,}7$ .