Calcoli in notazione scientifica

Theory used: Potenze di 10 Notazione scientifica Ordine di grandezza Prodotto di potenze con la stessa base Quoziente di potenze con la stessa base

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Esercizio 1

Scrivi in notazione scientifica i numeri $45\,000\,000$ e $0{,}000078$ , e determina il loro ordine di grandezza.

45\,000\,000 = 4{,}5 \cdot 10^7

0{,}000078 = 7{,}8 \cdot 10^{-5}

4{,}5 < 5 \quad \Longrightarrow \quad \text{ordine di grandezza } 10^7

7{,}8 \geq 5 \quad \Longrightarrow \quad \text{ordine di grandezza } 10^{-5+1} = 10^{-4}

Nel numero $45\,000\,000$ la virgola si trova dopo l’ultimo zero. Per ottenere un numero con una sola cifra prima della virgola, cioè $4{,}5$ , la virgola si sposta di $7$ posti verso sinistra. Moltiplicare per $10^7$ riporta la virgola di $7$ posti verso destra, quindi $45\,000\,000 = 4{,}5 \cdot 10^7$ .

Nel numero $0{,}000078$ la prima cifra diversa da zero è $7$ , al quinto posto dopo la virgola. Per ottenere $7{,}8$ la virgola si sposta di $5$ posti verso destra, perciò l’esponente è $-5$ e $0{,}000078 = 7{,}8 \cdot 10^{-5}$ .

Per l’ordine di grandezza si guarda il numero davanti alla potenza di $10$ . Nel primo caso $4{,}5$ è minore di $5$ , quindi l’ordine di grandezza è $10^7$ . Nel secondo caso $7{,}8$ è maggiore di $5$ , quindi l’esponente aumenta di $1$ e l’ordine di grandezza è $10^{-4}$ .

Esercizio 2

Calcola $\left( 4 \cdot 10^6 \right) \cdot \left( 3{,}5 \cdot 10^{-2} \right)$ e scrivi il risultato in notazione scientifica.

\begin{aligned} \left( 4 \cdot 10^6 \right) \cdot \left( 3{,}5 \cdot 10^{-2} \right) &= (4 \cdot 3{,}5) \cdot 10^{6 + (-2)} \\[6pt] &= 14 \cdot 10^4 \\[6pt] &= 1{,}4 \cdot 10 \cdot 10^4 \\[6pt] &= 1{,}4 \cdot 10^5 \end{aligned}

Per le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione i fattori si possono riordinare. Si moltiplicano quindi tra loro i numeri $4$ e $3{,}5$ , che danno $14$ , e tra loro le potenze di $10$ . Per il prodotto di potenze con la stessa base gli esponenti si sommano, e poiché $6 + (-2) = 4$ si ottiene $10^4$ .

Il numero $14$ ha due cifre prima della virgola, quindi $14 \cdot 10^4$ non è in notazione scientifica. Poiché $14 = 1{,}4 \cdot 10$ , si ha $14 \cdot 10^4 = 1{,}4 \cdot 10^{1+4} = 1{,}4 \cdot 10^5$ .

Esercizio 3

Calcola

\frac{9 \cdot 10^{-3}}{1{,}5 \cdot 10^4}

e scrivi il risultato in notazione scientifica.

\begin{aligned} \frac{9 \cdot 10^{-3}}{1{,}5 \cdot 10^4} &= \frac{9}{1{,}5} \cdot \frac{10^{-3}}{10^4} \\[6pt] &= 6 \cdot 10^{-3-4} \\[6pt] &= 6 \cdot 10^{-7} \end{aligned}

Il quoziente si divide in due parti, il quoziente dei numeri e il quoziente delle potenze di $10$ . Si ha $\dfrac{9}{1{,}5} = 6$ , perché $1{,}5 \cdot 6 = 9$ .

Per il quoziente di potenze con la stessa base gli esponenti si sottraggono, e poiché $-3 - 4 = -7$ si ottiene $10^{-7}$ . Il numero $6$ è compreso tra $1$ e $10$ , quindi il risultato $6 \cdot 10^{-7}$ è già in notazione scientifica.

Esercizio 4

Calcola

\frac{\left( 2 \cdot 10^3 \right)^2 \cdot 6 \cdot 10^{-5}}{8 \cdot 10^{-4}}

e scrivi il risultato in notazione scientifica.

\begin{aligned} \frac{\left( 2 \cdot 10^3 \right)^2 \cdot 6 \cdot 10^{-5}}{8 \cdot 10^{-4}} &= \frac{2^2 \cdot 10^6 \cdot 6 \cdot 10^{-5}}{8 \cdot 10^{-4}} \\[6pt] &= \frac{4 \cdot 6}{8} \cdot \frac{10^{6 + (-5)}}{10^{-4}} \\[6pt] &= \frac{24}{8} \cdot \frac{10^{1}}{10^{-4}} \\[6pt] &= 3 \cdot 10^{1-(-4)} \\[6pt] &= 3 \cdot 10^{5} \end{aligned}

Per la potenza di un prodotto si eleva al quadrato ciascun fattore di $2 \cdot 10^3$ . Si ha $2^2 = 4$ e, per la potenza di una potenza, $\left( 10^3 \right)^2 = 10^{6}$ .

Al numeratore i numeri danno $4 \cdot 6 = 24$ e le potenze di $10$ danno $10^{6 + (-5)} = 10^1$ . Si divide poi per il denominatore. Il quoziente dei numeri è $\dfrac{24}{8} = 3$ . Per le potenze di $10$ l’esponente è $1 - (-4) = 1 + 4 = 5$ . Il risultato è quindi $3 \cdot 10^5$ , cioè $300\,000$ .