Potenze con esponente zero e negativo

Theory used: Esponente zero Esponente negativo Le proprietà con esponenti interi

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Esercizio 1

Calcola $4^{-1} + 2^{-2} + 7^0$ .

\begin{aligned} 4^{-1} + 2^{-2} + 7^0 &= \frac{1}{4} + \frac{1}{2^2} + 1 \\[6pt] &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + 1 \\[6pt] &= \frac{1 + 1 + 4}{4} \\[6pt] &= \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{aligned}

Per la definizione di esponente negativo si ha $4^{-1} = \dfrac{1}{4^1} = \dfrac{1}{4}$ e $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$ . Per la definizione di esponente zero si ha $7^0 = 1$ .

Le tre frazioni si sommano con il denominatore comune $4$ , scrivendo $1 = \dfrac{4}{4}$ . Al numeratore si ottiene $1 + 1 + 4 = 6$ . La frazione $\dfrac{6}{4}$ si semplifica dividendo il numeratore e il denominatore per $2$ , quindi il risultato è $\dfrac{3}{2}$ .

Esercizio 2

Calcola

\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} - \left( \frac{3}{2} \right)^{0} .

\begin{aligned} \left( \frac{2}{3} \right)^{-2} - \left( \frac{3}{2} \right)^{0} &= \left( \frac{3}{2} \right)^{2} - 1 \\[6pt] &= \frac{9}{4} - 1 \\[6pt] &= \frac{9 - 4}{4} \\[6pt] &= \frac{5}{4} \end{aligned}

Una potenza con esponente negativo è il reciproco della potenza con esponente positivo. Il reciproco di $\dfrac{2}{3}$ è $\dfrac{3}{2}$ , quindi $\left( \dfrac{2}{3} \right)^{-2} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2} = \dfrac{3^2}{2^2} = \dfrac{9}{4}$ .

La base $\dfrac{3}{2}$ è diversa da zero, perciò per la definizione di esponente zero la seconda potenza vale $1$ . Si scrive $1 = \dfrac{4}{4}$ , e la differenza è $\dfrac{9 - 4}{4} = \dfrac{5}{4}$ .

Esercizio 3

Calcola

\frac{2^{-3} \cdot 2^5}{2^4} .

\begin{aligned} \frac{2^{-3} \cdot 2^5}{2^4} &= \frac{2^{-3+5}}{2^4} \\[6pt] &= \frac{2^2}{2^4} \\[6pt] &= 2^{2-4} \\[6pt] &= 2^{-2} = \frac{1}{4} \end{aligned}

Con l’esponente negativo le proprietà delle potenze continuano a valere. Al numeratore le basi sono uguali, quindi si sommano gli esponenti; poiché $-3 + 5 = 2$ , il numeratore è $2^2$ .

Nel quoziente si sottraggono gli esponenti, e poiché $2 - 4 = -2$ si ottiene $2^{-2}$ . Per la definizione di esponente negativo si ha $2^{-2} = \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{1}{4}$ . Il risultato coincide con il calcolo diretto, perché $\dfrac{1}{8} \cdot 32 = 4$ e $\dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4}$ .

Esercizio 4

Calcola

\frac{3^{-2} \cdot 9^2}{\left( 3^{-1} \right)^3} .

\begin{aligned} \frac{3^{-2} \cdot 9^2}{\left( 3^{-1} \right)^3} &= \frac{3^{-2} \cdot \left( 3^2 \right)^2}{3^{-3}} \\[6pt] &= \frac{3^{-2} \cdot 3^4}{3^{-3}} \\[6pt] &= \frac{3^{2}}{3^{-3}} \\[6pt] &= 3^{2-(-3)} \\[6pt] &= 3^{5} = 243 \end{aligned}

Si scrivono tutte le potenze con base $3$ . Poiché $9 = 3^2$ , per la potenza di una potenza si ha $9^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$ . Allo stesso modo $\left( 3^{-1} \right)^3 = 3^{(-1) \cdot 3} = 3^{-3}$ .

Al numeratore si sommano gli esponenti, e poiché $-2 + 4 = 2$ si ottiene $3^2$ . Nel quoziente si sottraggono gli esponenti. La differenza è $2 - (-3) = 2 + 3 = 5$ , perché sottrarre un numero negativo equivale ad aggiungere il suo opposto. Il risultato è $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$ .