Riduzioni, somme di polinomi e prodotti di un monomio per un polinomio

Theory used: Riduzione dei termini simili Polinomio ordinato e completo Grado di un polinomio Somma e differenza di polinomi Prodotto di un monomio per un polinomio

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Esercizio 1

Riduci il polinomio $3x - 2x^2 + 5 + x^2 - 7x + x^3$ , scrivilo in forma ordinata e indica il suo grado.

\begin{aligned} &3x - 2x^2 + 5 + x^2 - 7x + x^3 \\[6pt] &= x^3 + \left( -2x^2 + x^2 \right) + (3x - 7x) + 5 \\[6pt] &= x^3 - x^2 - 4x + 5 \end{aligned}

Per ridurre il polinomio si raggruppano i termini simili, cioè quelli con la stessa parte letterale, e si scrivono già in ordine di grado decrescente. Il termine $x^3$ è l’unico di grado $3$ . I termini $-2x^2$ e $x^2$ sono simili, e la loro somma ha coefficiente $-2 + 1 = -1$ , quindi vale $-x^2$ . I termini $3x$ e $-7x$ danno $(3 - 7)\,x = -4x$ . Il termine noto $5$ resta com’è.

Il polinomio ridotto e ordinato è $x^3 - x^2 - 4x + 5$ . Il termine di grado più alto è $x^3$ , perciò il polinomio ha grado $3$ .

Esercizio 2

Calcola $\left( 4a^2 - 3a + 2 \right) - \left( a^2 - 5a + 6 \right)$ .

\begin{aligned} &\left( 4a^2 - 3a + 2 \right) - \left( a^2 - 5a + 6 \right) \\[6pt] &= 4a^2 - 3a + 2 - a^2 + 5a - 6 \\[6pt] &= 3a^2 + 2a - 4 \end{aligned}

Il primo polinomio è preceduto dal segno più, sottinteso, quindi i suoi termini si riscrivono con lo stesso segno. Il secondo polinomio è preceduto dal segno meno, che cambia il segno di ogni suo termine. Quindi $a^2$ diventa $-a^2$ , $-5a$ diventa $+5a$ e $6$ diventa $-6$ .

Si riducono poi i termini simili. Per $a^2$ si ha $4 - 1 = 3$ , per $a$ si ha $-3 + 5 = 2$ e per i termini noti si ha $2 - 6 = -4$ . La differenza è perciò $3a^2 + 2a - 4$ .

Esercizio 3

Calcola $2x\,(3x - 4) - x\,(x + 5)$ .

\begin{aligned} 2x\,(3x - 4) - x\,(x + 5) &= 6x^2 - 8x - x^2 - 5x \\[6pt] &= 5x^2 - 13x \end{aligned}

Ogni prodotto di un monomio per un polinomio si sviluppa con la proprietà distributiva. Nel primo si ha $2x \cdot 3x = 6x^2$ e $2x \cdot (-4) = -8x$ . Nel secondo il monomio è $-x$ , con il segno meno davanti, quindi $-x \cdot x = -x^2$ e $-x \cdot 5 = -5x$ .

Si riducono poi i termini simili: $6x^2 - x^2 = 5x^2$ e $-8x - 5x = -13x$ . Il risultato è $5x^2 - 13x$ .

Esercizio 4

Calcola $-3ab\left( a^2 - 2ab + b^2 \right) + 2a^2b\,(a - b)$ .

\begin{aligned} &-3ab\left( a^2 - 2ab + b^2 \right) + 2a^2b\,(a - b) \\[6pt] &= -3a^3b + 6a^2b^2 - 3ab^3 + 2a^3b - 2a^2b^2 \\[6pt] &= -a^3b + 4a^2b^2 - 3ab^3 \end{aligned}

Nel primo prodotto il monomio $-3ab$ moltiplica ciascuno dei tre termini. Si ha $-3ab \cdot a^2 = -3a^3b$ ; poi $-3ab \cdot (-2ab) = +6a^2b^2$ , positivo perché i due coefficienti sono negativi; infine $-3ab \cdot b^2 = -3ab^3$ . Nel secondo prodotto $2a^2b \cdot a = 2a^3b$ e $2a^2b \cdot (-b) = -2a^2b^2$ .

I termini simili sono due coppie. I termini con $a^3b$ hanno coefficienti $-3$ e $2$ , con somma $-1$ , quindi danno $-a^3b$ . I termini con $a^2b^2$ hanno coefficienti $6$ e $-2$ , con somma $4$ . Il termine $-3ab^3$ non ha termini simili e resta com’è. Il risultato è perciò $-a^3b + 4a^2b^2 - 3ab^3$ .