Prodotti di polinomi

Per la regola del prodotto di polinomi si moltiplica ogni termine del primo binomio per ogni termine del secondo. I prodotti sono quattro: $x\cdot x=x^2$, $x\cdot (-3)=-3x$, $4\cdot x=4x$ e $4\cdot (-3)=-12$.

I termini $-3x$ e $4x$ sono simili, e la loro somma è $(-3+4)x=x$. Il prodotto è perciò $x^2+x-12$. Con $x=1$ il prodotto di partenza vale $5\cdot (-2)=-10$, e anche il risultato vale $1+1-12=-10$.

Si moltiplica ogni termine di $2a-3b$ per ogni termine di $a+5b$. Dal termine $2a$ si ottengono $2a^2$ e $10ab$. Dal termine $-3b$ si ottengono $-3b\cdot a=-3ab$, perché $ba=ab$, e $-3b\cdot 5b=-15b^2$.

I termini $10ab$ e $-3ab$ sono simili, con somma $(10-3)ab=7ab$. Il prodotto è quindi $2a^2+7ab-15b^2$.

Un binomio per un trinomio dà $2\cdot 3=6$ prodotti. Il termine $x$ moltiplica i tre termini del trinomio e dà $x^3$, $-3x^2$ e $x$. Il termine $2$ moltiplica gli stessi tre termini e dà $2x^2$, $-6x$ e $2$.

Si riducono i termini simili. Per $x^2$ si ha $-3+2=-1$, quindi $-x^2$; per $x$ si ha $1-6=-5$, quindi $-5x$. Il prodotto è $x^3-x^2-5x+2$, che ha grado $3$, cioè la somma dei gradi $1$ e $2$ dei fattori.

Con tre fattori si moltiplicano prima i primi due e poi il risultato per il terzo, per la proprietà associativa della moltiplicazione. Il prodotto $(x-1)(x+2)$ ha quattro termini, $x^2$, $2x$, $-x$ e $-2$, e i due termini di primo grado danno $2x-x=x$. Si ottiene $x^2+x-2$.

Poi si moltiplica $x^2+x-2$ per $x+3$. Il termine $x^2$ dà $x^3$ e $3x^2$, il termine $x$ dà $x^2$ e $3x$, il termine $-2$ dà $-2x$ e $-6$. Riducendo, $3x^2+x^2=4x^2$ e $3x-2x=x$, quindi il prodotto è $x^3+4x^2+x-6$. Con $x=1$ il primo fattore vale $0$, e infatti anche il risultato vale $1+4+1-6=0$.