Problemi con il calcolo letterale

Theory used: Espressione letterale Valore di un'espressione letterale Somma e differenza di polinomi Quadrato di un binomio Prodotto di polinomi

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Esercizio 1

Una palestra propone due abbonamenti. Con l’abbonamento A si pagano $40$ euro al mese. Con l’abbonamento B si pagano $30$ euro di iscrizione e poi $25$ euro al mese. Scrivi la spesa per $m$ mesi con ciascun abbonamento e la differenza tra le due spese, e calcola questa differenza per $m = 6$ .

A = 40m , \qquad B = 30 + 25m

\begin{aligned} A - B &= 40m - (30 + 25m) \\[6pt] &= 40m - 30 - 25m \\[6pt] &= 15m - 30 \end{aligned}

15 \cdot 6 - 30 = 90 - 30 = 60 \text{ euro}

Con l’abbonamento A ogni mese costa $40$ euro, quindi $m$ mesi costano $40 \cdot m = 40m$ euro. Con l’abbonamento B si paga una volta sola l’iscrizione di $30$ euro, e poi $25$ euro per ciascuno degli $m$ mesi, quindi la spesa è $30 + 25m$ euro.

Nella differenza il segno meno davanti a $30 + 25m$ cambia il segno di entrambi i termini. I termini simili $40m$ e $-25m$ danno $15m$ , perciò la differenza è $15m - 30$ euro.

Per $m = 6$ la differenza vale $60$ euro. Infatti con A si spendono $40 \cdot 6 = 240$ euro e con B si spendono $30 + 25 \cdot 6 = 30 + 150 = 180$ euro, e $240 - 180 = 60$ . In sei mesi l’abbonamento B è quindi più conveniente, perché costa $60$ euro in meno.

Esercizio 2

Un’aiuola quadrata ha il lato di $x$ metri. Si allarga l’aiuola allungando ogni lato di $3$ metri, e si ottiene ancora un quadrato. Scrivi di quanto aumenta l’area, e calcola l’aumento per $x = 5$ .

\begin{aligned} (x + 3)^2 - x^2 &= x^2 + 6x + 9 - x^2 \\[6pt] &= 6x + 9 \end{aligned}

6 \cdot 5 + 9 = 30 + 9 = 39 \text{ m}^2

L'aiuola nuova ha lato

x + 3

; la parte colorata è l'aumento dell'area, formato da due rettangoli di area

3 x

e da un quadrato di area

9

, per un totale di

6 x + 9

L’area di un quadrato è il quadrato del lato. L’aiuola di partenza ha quindi area $x^2$ , e quella nuova, che ha lato $x + 3$ , ha area $(x + 3)^2$ . L’aumento è la differenza tra le due aree.

Il quadrato di un binomio dà $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$ . I termini $x^2$ e $-x^2$ sono opposti, perciò l’aumento è $6x + 9$ metri quadrati. La figura mostra lo stesso risultato, perché attorno al quadrato di partenza si aggiungono due strisce di area $3 \cdot x = 3x$ e un quadratino d’angolo di area $3 \cdot 3 = 9$ .

Per $x = 5$ l’aumento è $39$ m². Infatti l’aiuola passa da $5 \cdot 5 = 25$ m² a $8 \cdot 8 = 64$ m², e $64 - 25 = 39$ .

Esercizio 3

Si considerano tre numeri naturali consecutivi. Mostra che il prodotto del primo per il terzo è uguale al quadrato del numero centrale diminuito di $1$ , e controlla l’uguaglianza con i numeri $4$ , $5$ e $6$ .

n , \qquad n + 1 , \qquad n + 2

n\,(n + 2) = n^2 + 2n

\begin{aligned} (n + 1)^2 - 1 &= n^2 + 2n + 1 - 1 \\[6pt] &= n^2 + 2n \end{aligned}

4 \cdot 6 = 24 , \qquad 5^2 - 1 = 25 - 1 = 24

Si indica con $n$ il primo numero. Due numeri naturali consecutivi differiscono di $1$ , quindi il numero centrale è $n + 1$ e il terzo è $n + 2$ . Con la lettera si scrive in una sola volta il calcolo per tutte le terne di numeri consecutivi.

Il prodotto del primo per il terzo si calcola con la proprietà distributiva, e vale $n^2 + 2n$ . Il quadrato del numero centrale si sviluppa con il quadrato di un binomio, $(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1$ , e togliendo $1$ si ottiene ancora $n^2 + 2n$ . Le due espressioni sono uguali, perciò l’uguaglianza vale per ogni terna di numeri consecutivi.

Con $n = 4$ i numeri sono $4$ , $5$ e $6$ . Il prodotto $4 \cdot 6$ vale $24$ e anche $5^2 - 1$ vale $24$ , come previsto.

Esercizio 4

Una foto rettangolare è alta $x$ centimetri e lunga $2x$ centimetri, cioè il doppio dell’altezza. Attorno alla foto c’è una cornice larga $1$ cm su ogni lato. Scrivi l’area della cornice e calcolala per $x = 10$ .

\text{lunghezza } 2x + 2 , \qquad \text{altezza } x + 2

\begin{aligned} (2x + 2)(x + 2) - 2x \cdot x &= 2x^2 + 4x + 2x + 4 - 2x^2 \\[6pt] &= 6x + 4 \end{aligned}

6 \cdot 10 + 4 = 64 \text{ cm}^2

La cornice aggiunge $1$ cm a sinistra e $1$ cm a destra della foto, quindi la lunghezza esterna è $2x + 2$ . Allo stesso modo aggiunge $1$ cm sopra e $1$ cm sotto, e l’altezza esterna è $x + 2$ . L’area della cornice è l’area del rettangolo esterno meno l’area della foto, che è $2x \cdot x = 2x^2$ .

Il prodotto di polinomi $(2x + 2)(x + 2)$ ha quattro termini: $2x^2$ , $4x$ , $2x$ e $4$ . Togliendo $2x^2$ , i termini $2x^2$ e $-2x^2$ sono opposti, e restano $4x + 2x + 4 = 6x + 4$ centimetri quadrati.

Per $x = 10$ la foto misura $20$ cm per $10$ cm e l’area della cornice è $64$ cm². Infatti il rettangolo esterno misura $22$ cm per $12$ cm, ha area $22 \cdot 12 = 264$ cm², e la foto ha area $20 \cdot 10 = 200$ cm², quindi $264 - 200 = 64$ .