Operazioni con i monomi

Theory used: Monomi simili Somma di monomi simili Prodotto di monomi Potenza di un monomio Quoziente di monomi

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Esercizio 1

Calcola $5a^2b - 2a^2b + 4a^2b$ .

\begin{aligned} 5a^2b - 2a^2b + 4a^2b &= (5 - 2 + 4)\,a^2b \\[6pt] &= 7a^2b \end{aligned}

I tre monomi hanno la stessa parte letterale $a^2b$ , quindi sono simili. La somma di monomi simili è un monomio con la stessa parte letterale e con coefficiente uguale alla somma dei coefficienti.

I coefficienti sono $5$ , $-2$ e $4$ . La loro somma è $5 - 2 + 4 = 7$ , perciò il risultato è $7a^2b$ .

Esercizio 2

Calcola il prodotto $\left( -\dfrac{2}{3}x^2y \right) \cdot \left( \dfrac{9}{4}xy^3 \right)$ .

\begin{aligned} &\left( -\frac{2}{3}x^2y \right) \cdot \left( \frac{9}{4}xy^3 \right) \\[6pt] &= -\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} \cdot x^2 \cdot x \cdot y \cdot y^3 \\[6pt] &= -\frac{18}{12}\,x^{2 + 1}y^{1 + 3} \\[6pt] &= -\frac{3}{2}\,x^3y^4 \end{aligned}

Per la regola del prodotto di monomi si moltiplicano tra loro i coefficienti e, separatamente, le potenze della stessa lettera.

Il prodotto dei coefficienti è $-\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = -\dfrac{18}{12}$ , con il segno meno perché un fattore è negativo e l’altro positivo. Numeratore e denominatore sono entrambi divisibili per $6$ , quindi la frazione si semplifica in $-\dfrac{3}{2}$ . Per le lettere si sommano gli esponenti: $x^2 \cdot x = x^{2 + 1} = x^3$ , perché $x$ ha esponente $1$ , e $y \cdot y^3 = y^{1 + 3} = y^4$ . Il prodotto è perciò $-\dfrac{3}{2}x^3y^4$ .

Esercizio 3

Calcola le potenze $\left( -3a^2b^3 \right)^2$ e $\left( -2xy^2 \right)^3$ .

\begin{aligned} \left( -3a^2b^3 \right)^2 &= (-3)^2 \cdot \left( a^2 \right)^2 \cdot \left( b^3 \right)^2 \\[6pt] &= 9a^4b^6 \end{aligned}

\begin{aligned} \left( -2xy^2 \right)^3 &= (-2)^3 \cdot x^3 \cdot \left( y^2 \right)^3 \\[6pt] &= -8x^3y^6 \end{aligned}

Per la regola della potenza di un monomio si eleva a potenza il coefficiente e si moltiplica per l’esponente della potenza l’esponente di ogni lettera.

Nella prima potenza il coefficiente è $-3$ e $(-3)^2 = 9$ , positivo perché l’esponente è pari. Gli esponenti delle lettere si moltiplicano per $2$ , quindi $a^2$ diventa $a^4$ e $b^3$ diventa $b^6$ .

Nella seconda potenza $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$ , negativo perché l’esponente è dispari. La lettera $x$ ha esponente $1$ , quindi diventa $x^3$ , e $y^2$ diventa $y^{2 \cdot 3} = y^6$ . Il risultato è perciò $-8x^3y^6$ .

Esercizio 4

Semplifica, per $a \neq 0$ e $b \neq 0$ , l’espressione $\dfrac{\left( -2a^2b \right)^3}{4a^3b^2} + 5a^3b$ .

\begin{aligned} \frac{\left( -2a^2b \right)^3}{4a^3b^2} + 5a^3b &= \frac{-8a^6b^3}{4a^3b^2} + 5a^3b \\[6pt] &= -2a^{6 - 3}b^{3 - 2} + 5a^3b \\[6pt] &= -2a^3b + 5a^3b \\[6pt] &= 3a^3b \end{aligned}

Come nelle espressioni numeriche, si calcola prima la potenza, poi la divisione e infine l’addizione. La potenza $\left( -2a^2b \right)^3$ vale $-8a^6b^3$ , perché $(-2)^3 = -8$ , $\left( a^2 \right)^3 = a^6$ e $b$ diventa $b^3$ .

Il divisore $4a^3b^2$ è diverso da zero, perché $a \neq 0$ e $b \neq 0$ . Per la regola del quoziente di monomi si dividono i coefficienti, $\dfrac{-8}{4} = -2$ , e si sottraggono gli esponenti di ogni lettera: $a^{6 - 3} = a^3$ e $b^{3 - 2} = b$ . Il quoziente è quindi $-2a^3b$ .

Infine $-2a^3b$ e $5a^3b$ sono monomi simili. La loro somma ha coefficiente $-2 + 5 = 3$ , perciò l’espressione è uguale a $3a^3b$ .