Quadrati di trinomi e cubi di binomi

Theory used: Quadrato di un trinomio Cubo di un binomio Somma per differenza Riduzione dei termini simili

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Esercizio 1

Sviluppa $(a + b + 2)^2$ .

\begin{aligned} &(a + b + 2)^2 \\[6pt] &= a^2 + b^2 + 2^2 \\[6pt] &\quad + 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot 2 + 2 \cdot b \cdot 2 \\[6pt] &= a^2 + b^2 + 4 + 2ab + 4a + 4b \end{aligned}

Si applica la formula del quadrato di un trinomio. I tre termini sono $a$ , $b$ e $2$ , e i loro quadrati sono $a^2$ , $b^2$ e $4$ .

Le coppie di termini sono tre: $a$ e $b$ , $a$ e $2$ , $b$ e $2$ . I doppi prodotti sono quindi $2ab$ , $2 \cdot a \cdot 2 = 4a$ e $2 \cdot b \cdot 2 = 4b$ , tutti positivi perché i tre termini sono positivi. Lo sviluppo ha sei termini.

Esercizio 2

Sviluppa $\left( x^2 - x + 3 \right)^2$ e scrivi il risultato in forma ordinata.

\begin{aligned} &\left( x^2 - x + 3 \right)^2 \\[6pt] &= x^4 + x^2 + 9 \\[6pt] &\quad + 2 \cdot x^2 \cdot (-x) + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 2 \cdot (-x) \cdot 3 \\[6pt] &= x^4 + x^2 + 9 - 2x^3 + 6x^2 - 6x \\[6pt] &= x^4 - 2x^3 + 7x^2 - 6x + 9 \end{aligned}

I tre termini del trinomio sono $x^2$ , $-x$ e $3$ . I loro quadrati sono $\left( x^2 \right)^2 = x^4$ , $(-x)^2 = x^2$ e $9$ , tutti positivi.

Nei doppi prodotti il segno si determina con la regola dei segni. Il doppio prodotto di $x^2$ e $-x$ è $-2x^3$ , negativo; quello di $x^2$ e $3$ è $6x^2$ , positivo; quello di $-x$ e $3$ è $-6x$ , negativo.

Ci sono due termini simili, $x^2$ e $6x^2$ , con somma $7x^2$ . Scrivendo i termini dal grado più alto al più basso si ottiene il polinomio ordinato $x^4 - 2x^3 + 7x^2 - 6x + 9$ .

Esercizio 3

Sviluppa $(x + 3)^3$ e $(2a - 1)^3$ .

\begin{aligned} (x + 3)^3 &= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 + 3^3 \\[6pt] &= x^3 + 9x^2 + 27x + 27 \end{aligned}

\begin{aligned} (2a - 1)^3 &= (2a)^3 - 3 \cdot (2a)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2a \cdot 1^2 - 1^3 \\[6pt] &= 8a^3 - 12a^2 + 6a - 1 \end{aligned}

Si applica la formula del cubo di un binomio. Per $(x + 3)^3$ il cubo del primo termine è $x^3$ ; il primo triplo prodotto è $3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2$ ; il secondo è $3 \cdot x \cdot 9 = 27x$ ; il cubo del secondo termine è $3^3 = 27$ .

Per $(2a - 1)^3$ i termini sono $2a$ e $-1$ , e i segni si alternano. Il cubo di $2a$ è $8a^3$ . Il primo triplo prodotto contiene il quadrato di $2a$ , che è $4a^2$ , quindi vale $-3 \cdot 4a^2 \cdot 1 = -12a^2$ . Il secondo triplo prodotto è $3 \cdot 2a \cdot 1 = 6a$ , positivo perché contiene il quadrato di $-1$ . L’ultimo termine è $(-1)^3 = -1$ .

Esercizio 4

Semplifica l’espressione $(x - 1)^3 - x\,(x - 3)(x + 3) + 3x^2$ .

\begin{aligned} &(x - 1)^3 - x\,(x - 3)(x + 3) + 3x^2 \\[6pt] &= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x\left( x^2 - 9 \right) + 3x^2 \\[6pt] &= x^3 - 3x^2 + 3x - 1 - x^3 + 9x + 3x^2 \\[6pt] &= 12x - 1 \end{aligned}

Il primo termine è un cubo di binomio, e vale $x^3 - 3x^2 + 3x - 1$ . Nel secondo termine il prodotto $(x - 3)(x + 3)$ è una somma per differenza, e vale $x^2 - 9$ .

Il monomio $-x$ moltiplica poi $x^2 - 9$ per la proprietà distributiva, e dà $-x^3 + 9x$ . A questo punto si riducono i termini simili. I termini $x^3$ e $-x^3$ sono opposti, e anche $-3x^2$ e $3x^2$ sono opposti, quindi la loro somma è $0$ . Restano $3x + 9x = 12x$ e $-1$ , perciò l’espressione è uguale a $12x - 1$ .