Energie cinetiche relativistiche e confronto con la formula classica

Theory used: Energia cinetica relativistica Limite classico dell'energia cinetica Elettronvolt, MeV e unità derivate La velocità della luce come velocità limite

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Esercizio 1

Calcola l’energia cinetica di un elettrone che si muove a $0{,}10\,c$ , a $0{,}50\,c$ e a $0{,}90\,c$ , sia con la formula relativistica sia con la formula classica $\dfrac{1}{2} m v^2$ . Per ciascuna velocità determina l’errore percentuale che si commette con la formula classica. Usa $m_e c^2 = 511\,\mathrm{keV}$ .

K = (\gamma - 1)\, m_e c^2 , \qquad K_{\text{cl}} = \frac{1}{2}\, m_e v^2 = \frac{1}{2}\, \beta^2\, m_e c^2 , \qquad \text{errore} = \frac{K - K_{\text{cl}}}{K}

\begin{aligned} \beta = 0{,}10 &: \quad \gamma \approx 1{,}00504 , \quad K \approx 2{,}57\,\mathrm{keV} , \quad K_{\text{cl}} \approx 2{,}56\,\mathrm{keV} , \quad \text{errore} \approx 0{,}75\% \\[6pt] \beta = 0{,}50 &: \quad \gamma \approx 1{,}155 , \quad K \approx 79{,}1\,\mathrm{keV} , \quad K_{\text{cl}} \approx 63{,}9\,\mathrm{keV} , \quad \text{errore} \approx 19\% \\[6pt] \beta = 0{,}90 &: \quad \gamma \approx 2{,}294 , \quad K \approx 661\,\mathrm{keV} , \quad K_{\text{cl}} \approx 207\,\mathrm{keV} , \quad \text{errore} \approx 69\% \end{aligned}

K = (\gamma - 1)\,m_e c^2

K_{\text{cl}} = \dfrac{1}{2} m_e v^2

Energia cinetica di un elettrone in keV in funzione di

β

: i punti sono i tre valori relativistici dell'esercizio, e la distanza dalla curva classica cresce con la velocità

Per ogni velocità si calcola prima $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}$ . Con $\beta = 0{,}10$ il radicando è $0{,}99$ e $\gamma$ supera $1$ solo di circa $0{,}005$ ; con $\beta = 0{,}50$ il radicando è $0{,}75$ ; con $\beta = 0{,}90$ il radicando è $0{,}19$ , e $\gamma$ supera $2$ .

L’energia cinetica relativistica è $(\gamma - 1)$ volte $511\,\mathrm{keV}$ . Nella formula classica si scrive $v = \beta c$ , così che $\dfrac{1}{2} m_e v^2 = \dfrac{1}{2} \beta^2\, m_e c^2$ e anche questa energia si ottiene in $\mathrm{keV}$ . Per esempio, con $\beta = 0{,}50$ si ha $K_{\text{cl}} = \dfrac{1}{2} \cdot 0{,}25 \cdot 511\,\mathrm{keV} \approx 63{,}9\,\mathrm{keV}$ .

L’errore relativo è la differenza tra i due valori divisa per il valore relativistico. A $0{,}10\,c$ è inferiore all’ $1\%$ , quindi la formula classica è una buona approssimazione, come prevede il limite classico dell’energia cinetica. A $0{,}50\,c$ l’errore è circa il $19\%$ , e a $0{,}90\,c$ la formula classica dà meno di un terzo dell’energia vera.

Esercizio 2

Un protone viene accelerato da $v_1 = 0{,}50\,c$ a $v_2 = 0{,}90\,c$ . Calcola il lavoro $W$ compiuto sul protone dalla forza acceleratrice, in $\mathrm{MeV}$ , e confrontalo con il valore che darebbe la meccanica classica. Usa $m_p c^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ .

W = \Delta K = K_2 - K_1 = (\gamma_2 - 1)\, m_p c^2 - (\gamma_1 - 1)\, m_p c^2 = (\gamma_2 - \gamma_1)\, m_p c^2

\gamma_1 = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}25}} \approx 1{,}155 , \qquad \gamma_2 = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}81}} \approx 2{,}294

W = (2{,}294 - 1{,}155) \cdot 938\,\mathrm{MeV} \approx 1{,}07 \cdot 10^{3}\,\mathrm{MeV}

W_{\text{cl}} = \frac{1}{2}\, m_p c^2 \left( \beta_2^2 - \beta_1^2 \right) = \frac{1}{2} \cdot 938 \cdot (0{,}81 - 0{,}25)\,\mathrm{MeV} \approx 263\,\mathrm{MeV}

Il lavoro $W$ della forza risultante è uguale alla variazione dell’energia cinetica, per il teorema dell’energia cinetica, che vale anche in relatività con $K = (\gamma - 1)\, m c^2$ . Nella differenza $K_2 - K_1$ i due termini $-m_p c^2$ si annullano, quindi il lavoro è $(\gamma_2 - \gamma_1)\, m_p c^2$ , cioè la variazione dell’energia totale.

I due fattori di Lorentz valgono circa $1{,}155$ e $2{,}294$ , e la loro differenza moltiplicata per $938\,\mathrm{MeV}$ dà circa $1{,}07 \cdot 10^{3}\,\mathrm{MeV}$ . La meccanica classica darebbe circa $263\,\mathrm{MeV}$ , perciò il lavoro necessario è circa quattro volte quello classico. La differenza è grande perché $\gamma$ cresce rapidamente quando la velocità si avvicina a $c$ , come si vede nel grafico dell’energia cinetica in funzione di $\beta$ .

Esercizio 3

Un protone, inizialmente fermo, viene accelerato da una differenza di potenziale di $10{,}0\,\mathrm{MV}$ . Calcola la velocità finale con la formula relativistica e con la formula classica, e determina di quanto differiscono in percentuale. Usa $m_p c^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ e $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

K = e\, \Delta V = 10{,}0\,\mathrm{MeV}

\gamma = 1 + \frac{K}{m_p c^2} = 1 + \frac{10{,}0}{938} \approx 1{,}01066

\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \approx 0{,}1449 \quad\Longrightarrow\quad v \approx 0{,}1449 \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} \approx 4{,}35 \cdot 10^{7}\,\mathrm{m/s}

\frac{1}{2}\, m_p v_{\text{cl}}^2 = K \quad\Longrightarrow\quad \beta_{\text{cl}} = \sqrt{\frac{2K}{m_p c^2}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10{,}0}{938}} \approx 0{,}1460 \quad\Longrightarrow\quad v_{\text{cl}} \approx 4{,}38 \cdot 10^{7}\,\mathrm{m/s}

\frac{v_{\text{cl}} - v}{v} = \frac{0{,}1460 - 0{,}1449}{0{,}1449} \approx 0{,}8\%

Il protone ha carica $e$ e attraversa la differenza di potenziale $\Delta V$ , quindi la forza elettrica compie il lavoro $e\,\Delta V$ . Per la definizione dell’elettronvolt questo lavoro vale $10{,}0\,\mathrm{MeV}$ , e poiché il protone parte da fermo è uguale alla sua energia cinetica finale.

Dalla relazione $K = (\gamma - 1)\, m_p c^2$ si ricava $\gamma = 1 + \dfrac{K}{m_p c^2}$ . Dalla definizione di $\gamma$ si ha $1 - \beta^2 = \dfrac{1}{\gamma^2}$ , quindi $\beta = \sqrt{1 - \dfrac{1}{\gamma^2}}$ . Con $\gamma \approx 1{,}01066$ si ottiene $\dfrac{1}{\gamma^2} \approx 0{,}97901$ e $\beta \approx 0{,}1449$ ; in questo calcolo servono almeno cinque cifre di $\gamma$ , perché $\gamma$ è molto vicino a $1$ .

Nella formula classica si ricava $v$ da $\dfrac{1}{2} m_p v^2 = K$ e si divide per $c$ , così che compare il rapporto $\dfrac{K}{m_p c^2}$ . Le due velocità differiscono di meno dell’ $1\%$ , perché l’energia cinetica è circa l’ $1\%$ dell’energia a riposo. Per questo motivo i protoni di qualche $\mathrm{MeV}$ si possono trattare con la meccanica classica.