Quantità di moto ed energia di particelle veloci

Theory used: Quantità di moto relativistica Energia totale ed energia a riposo Energia cinetica relativistica Elettronvolt, MeV e unità derivate

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Esercizio 1

Un elettrone si muove con velocità $v = 0{,}600\,c$ . Calcola il fattore di Lorentz, la quantità di moto, l’energia a riposo, l’energia totale e l’energia cinetica dell’elettrone, ed esprimi l’energia cinetica in $\mathrm{MeV}$ . Usa $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{MeV} = 1{,}60 \cdot 10^{-13}\,\mathrm{J}$ .

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} , \qquad p = \gamma\, m_e v , \qquad E_0 = m_e c^2 , \qquad E = \gamma\, m_e c^2 , \qquad K = E - E_0

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}600^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}640}} = \frac{1}{0{,}800} = 1{,}25

\begin{aligned} p &= 1{,}25 \cdot 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot 1{,}80 \cdot 10^{8}\,\mathrm{kg\cdot m/s} \approx 2{,}05 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s} \\[6pt] E_0 &= 9{,}11 \cdot 10^{-31} \cdot \left( 3{,}00 \cdot 10^{8} \right)^2\,\mathrm{J} \approx 8{,}20 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{J} \\[6pt] E &= 1{,}25 \cdot 8{,}20 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{J} \approx 1{,}02 \cdot 10^{-13}\,\mathrm{J} \\[6pt] K &= (1{,}25 - 1) \cdot 8{,}20 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{J} \approx 2{,}05 \cdot 10^{-14}\,\mathrm{J} \\[6pt] K &= \frac{2{,}05 \cdot 10^{-14}}{1{,}60 \cdot 10^{-13}}\,\mathrm{MeV} \approx 0{,}128\,\mathrm{MeV} \end{aligned}

Il primo passo è il calcolo del fattore di Lorentz, che compare in tutte le altre formule. Con $\beta = 0{,}600$ si ha $\beta^2 = 0{,}360$ e $1 - \beta^2 = 0{,}640$ , la cui radice è $0{,}800$ ; perciò $\gamma = 1{,}25$ .

La velocità dell’elettrone è $v = 0{,}600 \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} = 1{,}80 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ . La quantità di moto relativistica è il prodotto $\gamma\, m_e v$ , quindi è $1{,}25$ volte la quantità di moto classica $m_e v \approx 1{,}64 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

L’energia a riposo $m_e c^2$ non dipende dalla velocità. L’energia totale è $\gamma$ volte l’energia a riposo, e l’energia cinetica è la loro differenza, cioè $(\gamma - 1)\, m_e c^2 = 0{,}25\, m_e c^2$ . Per passare dai joule ai $\mathrm{MeV}$ si divide per $1{,}60 \cdot 10^{-13}\,\mathrm{J/MeV}$ , e si ottiene $K \approx 0{,}128\,\mathrm{MeV}$ .

Esercizio 2

Un protone di un fascio si muove con velocità $v = 0{,}950\,c$ . Calcola il rapporto tra la sua quantità di moto relativistica e la quantità di moto classica $m_p v$ , il valore della quantità di moto in $\mathrm{kg\cdot m/s}$ , e l’energia totale e l’energia cinetica in $\mathrm{MeV}$ . Usa $m_p = 1{,}67 \cdot 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ , $m_p c^2 = 938\,\mathrm{MeV}$ e $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

\frac{p}{m_p v} = \frac{\gamma\, m_p v}{m_p v} = \gamma , \qquad E = \gamma\, m_p c^2 , \qquad K = (\gamma - 1)\, m_p c^2

\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}950^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}0975}} \approx 3{,}20

\begin{aligned} p &= 3{,}20 \cdot 1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 2{,}85 \cdot 10^{8}\,\mathrm{kg\cdot m/s} \approx 1{,}52 \cdot 10^{-18}\,\mathrm{kg\cdot m/s} \\[6pt] E &= 3{,}20 \cdot 938\,\mathrm{MeV} \approx 3{,}00 \cdot 10^{3}\,\mathrm{MeV} \\[6pt] K &= (3{,}20 - 1) \cdot 938\,\mathrm{MeV} \approx 2{,}07 \cdot 10^{3}\,\mathrm{MeV} \end{aligned}

Nel rapporto tra la quantità di moto relativistica e quella classica i fattori $m_p$ e $v$ si semplificano, quindi il rapporto è uguale a $\gamma$ . Con $\beta = 0{,}950$ si ha $1 - \beta^2 = 1 - 0{,}9025 = 0{,}0975$ , e la radice di questo numero è circa $0{,}312$ ; perciò $\gamma \approx 3{,}20$ . La quantità di moto relativistica è quindi più del triplo di quella classica.

La velocità è $v = 0{,}950 \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} = 2{,}85 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ , e moltiplicando per $\gamma\, m_p$ si ottiene la quantità di moto. L’energia a riposo del protone è data in $\mathrm{MeV}$ , quindi l’energia totale e l’energia cinetica si calcolano direttamente in $\mathrm{MeV}$ , senza passare per i joule. L’energia cinetica, circa $2{,}07 \cdot 10^{3}\,\mathrm{MeV}$ , è più del doppio dell’energia a riposo. In questa situazione la formula classica $\dfrac{1}{2} m v^2$ darebbe circa $423\,\mathrm{MeV}$ , un valore molto lontano.

Esercizio 3

Determina la velocità a cui l’energia totale di una particella è il doppio della sua energia a riposo. Per un elettrone che si muove con questa velocità calcola l’energia cinetica e la quantità di moto, in $\mathrm{MeV}/c$ e in $\mathrm{kg\cdot m/s}$ . Usa $m_e c^2 = 0{,}511\,\mathrm{MeV}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{MeV}/c = 5{,}33 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s}$ .

E = 2 E_0 \quad\Longrightarrow\quad \gamma\, m c^2 = 2\, m c^2 \quad\Longrightarrow\quad \gamma = 2

\frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \beta^2 = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad \beta = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866

v = 0{,}866 \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s} \approx 2{,}60 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}

K = (\gamma - 1)\, m_e c^2 = m_e c^2 = 0{,}511\,\mathrm{MeV}

\begin{aligned} p &= \gamma\, m_e v = \gamma \beta\, \frac{m_e c^2}{c} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0{,}511\,\mathrm{MeV}/c \approx 0{,}885\,\mathrm{MeV}/c \\[6pt] p &= 0{,}885 \cdot 5{,}33 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s} \approx 4{,}72 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{kg\cdot m/s} \end{aligned}

L’energia totale è $\gamma$ volte l’energia a riposo, quindi la condizione $E = 2 E_0$ equivale a $\gamma = 2$ . Questa condizione non dipende dalla massa, perciò vale per ogni particella. Si eleva al quadrato l’equazione $\sqrt{1 - \beta^2} = \dfrac{1}{2}$ e si ottiene $1 - \beta^2 = \dfrac{1}{4}$ , cioè $\beta^2 = \dfrac{3}{4}$ . Poiché $\beta$ è positivo, $\beta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , e la velocità è circa $0{,}866\,c$ .

Con $\gamma = 2$ l’energia cinetica $(\gamma - 1)\, m_e c^2$ è uguale all’energia a riposo, quindi per l’elettrone vale $0{,}511\,\mathrm{MeV}$ . Per la quantità di moto si scrive $m_e v = \beta\, m_e c = \beta\, \dfrac{m_e c^2}{c}$ . In questo modo compare l’energia a riposo in $\mathrm{MeV}$ , e il risultato è espresso direttamente in $\mathrm{MeV}/c$ . Moltiplicando per $5{,}33 \cdot 10^{-22}$ si passa all’unità del Sistema Internazionale.