Correnti di spostamento nei condensatori

Theory used: Corrente di spostamento Corrente di spostamento in un condensatore piano Legge di Ampère-Maxwell Teorema di Ampère e condensatore che si carica

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Esercizio 1

Un condensatore piano nel vuoto ha armature di area $S = 0{,}040\,\mathrm{m^2}$ a distanza $d = 2{,}0\,\mathrm{mm}$ , e si carica con una corrente costante $i = 0{,}20\,\mathrm{A}$ . Trascurando gli effetti di bordo, calcola la corrente di spostamento tra le armature, la rapidità con cui cresce il campo elettrico e la rapidità con cui cresce la differenza di potenziale tra le armature ( $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}$ ).

i_s = \varepsilon_0 \frac{d\Phi(\vec{E})}{dt} , \qquad \Phi(\vec{E}) = E S = \frac{q}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad i_s = \frac{dq}{dt} = i

i_s = \varepsilon_0 S \frac{dE}{dt} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dE}{dt} = \frac{i}{\varepsilon_0 S} , \qquad \Delta V = E d \quad\Longrightarrow\quad \frac{d(\Delta V)}{dt} = d\,\frac{dE}{dt}

\begin{aligned} i_s &= 0{,}20\,\mathrm{A} \\[6pt] \frac{dE}{dt} &= \frac{0{,}20}{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}040}\,\mathrm{V/(m\cdot s)} \approx 5{,}6 \cdot 10^{11}\,\mathrm{V/(m\cdot s)} \\[6pt] \frac{d(\Delta V)}{dt} &= 2{,}0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m} \cdot 5{,}65 \cdot 10^{11}\,\mathrm{V/(m\cdot s)} \approx 1{,}1 \cdot 10^{9}\,\mathrm{V/s} \end{aligned}

Gli effetti di bordo sono trascurabili, quindi tra le armature il campo è uniforme, perpendicolare alle armature e di modulo $E = \dfrac{q}{\varepsilon_0 S}$ , mentre fuori è nullo. Il flusso attraverso una superficie parallela alle armature e compresa tra esse è perciò $E S = \dfrac{q}{\varepsilon_0}$ . Moltiplicando per $\varepsilon_0$ e derivando si ottiene $i_s = \dfrac{dq}{dt}$ , che è la corrente nei fili. Per questo motivo la corrente di spostamento vale $0{,}20\,\mathrm{A}$ , qualunque siano l’area e la distanza delle armature.

Dalla stessa formula, scritta come $i_s = \varepsilon_0 S \dfrac{dE}{dt}$ , si ricava la rapidità di crescita del campo, circa $5{,}6 \cdot 10^{11}\,\mathrm{V/(m\cdot s)}$ . In un campo uniforme la differenza di potenziale tra le armature è $\Delta V = E d$ , e la distanza $d$ è costante; quindi $\Delta V$ cresce con rapidità $d\,\dfrac{dE}{dt} \approx 1{,}1 \cdot 10^{9}\,\mathrm{V/s}$ . Lo stesso valore si ottiene con la capacità $C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d} \approx 1{,}8 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{F}$ , perché $\dfrac{d(\Delta V)}{dt} = \dfrac{i}{C}$ . Il valore è molto grande, quindi in un solo microsecondo la tensione aumenta di circa $1{,}1 \cdot 10^{3}\,\mathrm{V}$ .

Esercizio 2

Un condensatore piano nel vuoto ha armature circolari di raggio $R = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ . Durante la carica il campo elettrico tra le armature, uniforme, passa da zero a $3{,}0 \cdot 10^{5}\,\mathrm{V/m}$ in $2{,}0\,\mu\mathrm{s}$ , con rapidità costante. Calcola la corrente di spostamento tra le armature, la carica accumulata alla fine e la circuitazione del campo magnetico lungo una circonferenza che circonda il filo di alimentazione ( $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}$ , $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ ).

i_s = \varepsilon_0 \pi R^2 \frac{dE}{dt} , \qquad q = \varepsilon_0 \pi R^2 E_{\text{fin}} , \qquad \Gamma(\vec{B}) = \mu_0\, i

\begin{aligned} \frac{dE}{dt} &= \frac{3{,}0 \cdot 10^{5}\,\mathrm{V/m}}{2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{s}} = 1{,}5 \cdot 10^{11}\,\mathrm{V/(m\cdot s)} \\[6pt] i_s &= 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot \pi \cdot 0{,}050^2 \cdot 1{,}5 \cdot 10^{11}\,\mathrm{A} \approx 1{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{A} \\[6pt] q &= 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot \pi \cdot 0{,}050^2 \cdot 3{,}0 \cdot 10^{5}\,\mathrm{C} \approx 2{,}1 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{C} \\[6pt] \Gamma(\vec{B}) &= 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1{,}04 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{T\cdot m} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{T\cdot m} \end{aligned}

Il campo è uniforme tra le armature e perpendicolare a esse, quindi il flusso attraverso il cerchio di raggio $R$ è $E\,\pi R^2$ . Il campo cresce con rapidità costante, perciò la sua derivata è il rapporto tra la variazione $3{,}0 \cdot 10^{5}\,\mathrm{V/m}$ e l’intervallo di tempo. Per la definizione di corrente di spostamento si moltiplica la derivata del flusso per $\varepsilon_0$ , e si ottiene circa $1{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{A}$ .

Il flusso del campo elettrico tra le armature è $\dfrac{q}{\varepsilon_0}$ , quindi la carica accumulata alla fine è $\varepsilon_0$ per il flusso finale, circa $2{,}1 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{C}$ . Come controllo, la corrente nei fili è costante e uguale a $i_s$ , e in $2{,}0\,\mu\mathrm{s}$ trasporta la carica $1{,}04 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{A} \cdot 2{,}0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{s} \approx 2{,}1 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{C}$ .

Per la legge di Ampère-Maxwell la circuitazione lungo una circonferenza che circonda il filo è $\mu_0 (i_{\text{conc}} + i_s)$ . Con la superficie piana attraversata dal filo si ha $i_{\text{conc}} = i$ e $i_s = 0$ ; con una superficie che passa tra le armature si ha $i_{\text{conc}} = 0$ e $i_s = i$ . Le due scelte danno quindi lo stesso valore $\mu_0 i \approx 1{,}3 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{T\cdot m}$ .

Esercizio 3

Un condensatore piano nel vuoto, con armature di area $S = 0{,}020\,\mathrm{m^2}$ a distanza $d = 1{,}0\,\mathrm{mm}$ , è collegato a un generatore di tensione alternata $\Delta V(t) = V_0 \sin(\omega t)$ , con $V_0 = 50\,\mathrm{V}$ e frequenza $f = 1{,}0\,\mathrm{kHz}$ . Trascurando gli effetti di bordo, scrivi l’espressione della corrente di spostamento tra le armature in funzione del tempo e calcolane il valore massimo ( $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}\,\mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}$ ).

E(t) = \frac{\Delta V(t)}{d} = \frac{V_0}{d} \sin(\omega t) , \qquad \Phi(\vec{E}) = E(t)\,S

i_s(t) = \varepsilon_0 S \frac{dE}{dt} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\, V_0\, \omega \cos(\omega t) , \qquad i_{s,\max} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\, V_0\, \omega

\begin{aligned} \omega &= 2\pi f = 2\pi \cdot 1{,}0 \cdot 10^{3}\,\mathrm{rad/s} \approx 6{,}28 \cdot 10^{3}\,\mathrm{rad/s} \\[6pt] \frac{\varepsilon_0 S}{d} &= \frac{8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}020}{1{,}0 \cdot 10^{-3}}\,\mathrm{F} \approx 1{,}77 \cdot 10^{-10}\,\mathrm{F} \\[6pt] i_{s,\max} &= 1{,}77 \cdot 10^{-10} \cdot 50 \cdot 6{,}28 \cdot 10^{3}\,\mathrm{A} \approx 5{,}6 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{A} \end{aligned}

\Delta V(t)

i_s(t)

Tensione ai capi del condensatore e corrente di spostamento, in unità dei rispettivi valori massimi, con il tempo in unità di

\frac{1}{ω}

: la corrente di spostamento è massima quando la tensione passa per zero

Gli effetti di bordo sono trascurabili, quindi in ogni istante il campo tra le armature è uniforme e vale $E = \dfrac{\Delta V}{d}$ ; il suo flusso attraverso una superficie parallela alle armature è $E S$ . Per la definizione di corrente di spostamento si moltiplica per $\varepsilon_0$ la derivata del flusso. La derivata di $\sin(\omega t)$ è $\omega \cos(\omega t)$ , per la regola di derivazione della funzione composta, quindi $i_s(t) = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\, V_0\, \omega \cos(\omega t)$ .

Il fattore $\dfrac{\varepsilon_0 S}{d}$ è la capacità $C$ del condensatore, e il valore massimo $C V_0 \omega$ coincide con l’ampiezza della corrente nel circuito capacitivo, come si è visto nell’argomento sulla corrente alternata. Il coseno vale al massimo $1$ , quindi la corrente di spostamento ha ampiezza di circa $5{,}6 \cdot 10^{-5}\,\mathrm{A}$ . La corrente di spostamento è sfasata di un quarto di periodo rispetto alla tensione, e quindi è massima quando la tensione è nulla, perché in quell’istante il campo elettrico varia più rapidamente.