Campi elettrici indotti da campi magnetici variabili

Theory used: Campo elettrico indotto Legge di Faraday-Neumann per il campo elettrico Campo elettrico indotto da un solenoide campo indotto non conservativo

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Esercizio 1

In una regione circolare di raggio $R = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ c’è un campo magnetico uniforme, uscente dal foglio e perpendicolare alla regione. Il campo diminuisce in modo uniforme da $0{,}60\,\mathrm{T}$ a zero in $0{,}30\,\mathrm{s}$ . Calcola la circuitazione del campo elettrico indotto lungo il bordo della regione e il modulo del campo indotto sul bordo, e determina il verso delle sue linee.

Il campo

B

uscente diminuisce: il campo elettrico indotto è tangente alla circonferenza

γ

di raggio

R

e la percorre in verso antiorario

\Gamma(\vec{E}) = -\frac{d\Phi(\vec{B})}{dt} , \qquad \Phi(\vec{B}) = B\,\pi R^2

\Gamma(\vec{E}) = -\pi R^2 \frac{dB}{dt} , \qquad \Gamma(\vec{E}) = 2\pi R\,E \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{R}{2} \left| \frac{dB}{dt} \right|

\frac{dB}{dt} = \frac{0 - 0{,}60\,\mathrm{T}}{0{,}30\,\mathrm{s}} = -2{,}0\,\mathrm{T/s}

\begin{aligned} \Gamma(\vec{E}) &= \pi \cdot (0{,}050\,\mathrm{m})^2 \cdot 2{,}0\,\mathrm{T/s} \approx 1{,}6 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{V} \\[6pt] E &= \frac{0{,}050\,\mathrm{m}}{2} \cdot 2{,}0\,\mathrm{T/s} = 5{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{V/m} \end{aligned}

Si orienta la circonferenza $\gamma$ in verso antiorario. Con questa scelta, per la regola della mano destra, il vettore $\Delta\vec{S}$ della superficie racchiusa esce dal foglio, come $\vec{B}$ . Il campo è uniforme e perpendicolare alla regione, quindi il flusso è il prodotto $B\,\pi R^2$ e la sua derivata è $\pi R^2 \dfrac{dB}{dt}$ .

Il campo diminuisce in modo uniforme, perciò la sua rapidità di variazione è costante e vale $-2{,}0\,\mathrm{T/s}$ . Per la legge di Faraday-Neumann la circuitazione è l’opposto della derivata del flusso, quindi è positiva e vale circa $1{,}6 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{V}$ . Il segno positivo indica che il campo indotto percorre $\gamma$ nel verso scelto, cioè in verso antiorario. Lo stesso verso si ottiene con la legge di Lenz. Il flusso uscente diminuisce, e un campo elettrico antiorario farebbe circolare in una spira una corrente che produce al suo interno un campo uscente, che si oppone alla diminuzione.

La regione è un cerchio con il campo uniforme, quindi la situazione è simmetrica rispetto al centro. Per questo motivo il campo indotto è tangente a $\gamma$ e ha lo stesso modulo in ogni suo punto, e la circuitazione è il prodotto $2\pi R\,E$ . Uguagliando le due espressioni e semplificando $\pi R$ si ottiene $E = \dfrac{R}{2} \left| \dfrac{dB}{dt} \right| = 5{,}0 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{V/m}$ .

Esercizio 2

Un solenoide rettilineo molto lungo ha raggio $a = 2{,}5\,\mathrm{cm}$ . Al suo interno il campo magnetico è uniforme e cresce con rapidità costante $\dfrac{dB}{dt} = 0{,}60\,\mathrm{T/s}$ ; all’esterno il campo magnetico è nullo. Calcola il modulo del campo elettrico indotto alla distanza $r_1 = 1{,}5\,\mathrm{cm}$ e alla distanza $r_2 = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ dall’asse. Calcola poi la forza e l’accelerazione di un elettrone fermo alla distanza $r_1$ dall’asse ( $e = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , $m_e = 9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ).

2\pi r\,E = \left| \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt} \right| \qquad \begin{cases} \Phi(\vec{B}) = \pi r^2 B & \text{se } r \leq a \\[4pt] \Phi(\vec{B}) = \pi a^2 B & \text{se } r \geq a \end{cases}

E_1 = \frac{r_1}{2} \frac{dB}{dt} , \qquad E_2 = \frac{a^2}{2 r_2} \frac{dB}{dt} , \qquad F = e E_1 , \qquad a_e = \frac{F}{m_e}

\begin{aligned} E_1 &= \frac{0{,}015\,\mathrm{m}}{2} \cdot 0{,}60\,\mathrm{T/s} = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{V/m} \\[6pt] E_2 &= \frac{(0{,}025\,\mathrm{m})^2}{2 \cdot 0{,}050\,\mathrm{m}} \cdot 0{,}60\,\mathrm{T/s} \approx 3{,}8 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{V/m} \\[6pt] F &= 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{C} \cdot 4{,}5 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{V/m} = 7{,}2 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{N} \\[6pt] a_e &= \frac{7{,}2 \cdot 10^{-22}\,\mathrm{N}}{9{,}11 \cdot 10^{-31}\,\mathrm{kg}} \approx 7{,}9 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s^2} \end{aligned}

Il solenoide è molto lungo, quindi la situazione è simmetrica rispetto all’asse. Per questo motivo le linee del campo indotto sono circonferenze coassiali, e su ciascuna di esse il campo è tangente e ha modulo costante. Perciò la circuitazione lungo una circonferenza di raggio $r$ è $2\pi r\,E$ , e per la legge di Faraday-Neumann il suo modulo è uguale al modulo della derivata del flusso.

Il punto a distanza $r_1 = 1{,}5\,\mathrm{cm}$ è interno al solenoide, perché $r_1 < a$ . Il flusso attraverso il cerchio di raggio $r_1$ è $\pi r_1^2 B$ , e dividendo per $2\pi r_1$ si ottiene $E_1 = \dfrac{r_1}{2} \dfrac{dB}{dt}$ . Il punto a distanza $r_2 = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ è invece esterno. Fuori dal solenoide il campo magnetico è nullo, quindi il flusso attraverso il cerchio di raggio $r_2$ è soltanto quello della sezione del solenoide, $\pi a^2 B$ , e dividendo per $2\pi r_2$ si ottiene $E_2$ . Il campo indotto è perciò diverso da zero anche dove il campo magnetico è nullo.

L’elettrone è fermo, quindi la forza di Lorentz magnetica su di esso è nulla e agisce soltanto la forza elettrica $e E_1$ , tangente alla circonferenza. Per il secondo principio della dinamica l’accelerazione è la forza divisa per la massa, e vale circa $7{,}9 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s^2}$ . Il valore è grande perché la massa dell’elettrone è molto piccola.

Esercizio 3

Un solenoide rettilineo molto lungo ha $n = 2000$ spire per metro e raggio $a = 3{,}0\,\mathrm{cm}$ , e la corrente che lo percorre cresce con rapidità costante $\dfrac{di}{dt} = 50\,\mathrm{A/s}$ . Attorno al solenoide, coassiale con esso, c’è un anello conduttore di raggio $r = 6{,}0\,\mathrm{cm}$ e resistenza $R = 0{,}020\,\Omega$ . Trascurando l’autoinduzione dell’anello, calcola la rapidità di variazione del campo nel solenoide, la f.e.m. e la corrente indotte nell’anello e il modulo del campo elettrico indotto lungo l’anello ( $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{T\cdot m/A}$ ).

B = \mu_0 n\, i \quad\Longrightarrow\quad \frac{dB}{dt} = \mu_0 n \frac{di}{dt}

|\mathcal{E}| = \left| \frac{d\Phi(\vec{B})}{dt} \right| = \pi a^2 \frac{dB}{dt} , \qquad i_{\text{ind}} = \frac{|\mathcal{E}|}{R} , \qquad E = \frac{|\mathcal{E}|}{2\pi r}

\begin{aligned} \frac{dB}{dt} &= 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 2000 \cdot 50\,\mathrm{T/s} \approx 0{,}126\,\mathrm{T/s} \\[6pt] |\mathcal{E}| &= \pi \cdot (0{,}030\,\mathrm{m})^2 \cdot 0{,}126\,\mathrm{T/s} \approx 3{,}6 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{V} \\[6pt] i_{\text{ind}} &= \frac{3{,}55 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{V}}{0{,}020\,\Omega} \approx 1{,}8 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{A} \\[6pt] E &= \frac{3{,}55 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{V}}{2\pi \cdot 0{,}060\,\mathrm{m}} \approx 9{,}4 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{V/m} \end{aligned}

Il campo all’interno di un solenoide molto lungo è uniforme e vale $B = \mu_0 n\, i$ , come si è visto nell’argomento sulle sorgenti del campo magnetico. Il campo è proporzionale alla corrente, quindi la sua derivata è $\mu_0 n$ moltiplicato per la derivata della corrente, e vale circa $0{,}126\,\mathrm{T/s}$ .

L’anello ha raggio maggiore del solenoide, e fuori dal solenoide il campo magnetico è nullo. Perciò il flusso concatenato con l’anello è il flusso attraverso la sola sezione del solenoide, $\pi a^2 B$ . Per la legge di Faraday-Neumann la f.e.m. indotta ha modulo $\pi a^2 \dfrac{dB}{dt} \approx 3{,}6 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{V}$ , e per la legge di Ohm la corrente indotta è la f.e.m. divisa per la resistenza.

Nei punti dell’anello il campo magnetico è nullo, eppure gli elettroni si mettono in moto. La forza che li muove è quella del campo elettrico indotto, che esiste anche fuori dal solenoide. La f.e.m. è la circuitazione di questo campo lungo l’anello, e per la simmetria del solenoide il campo è tangente all’anello e ha modulo costante; quindi $|\mathcal{E}| = 2\pi r\,E$ , e dividendo per la lunghezza dell’anello si ottiene $E \approx 9{,}4 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{V/m}$ .