Energia dei fotoni e numero di fotoni emessi

Theory used: Ipotesi dei fotoni di Einstein Energia del fotone in elettronvolt Ipotesi di Planck I quanti negli oggetti di uso comune

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Esercizio 1

Una lampada al sodio emette luce gialla di lunghezza d’onda $\lambda = 589\,\mathrm{nm}$ . Calcola la frequenza della luce e l’energia di un fotone, in joule e in elettronvolt. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ , $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ e $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ .

f = \frac{c}{\lambda} , \qquad E = h f = \frac{h c}{\lambda}

\begin{aligned} f &= \frac{3{,}00 \cdot 10^{8}}{5{,}89 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{Hz} \approx 5{,}09 \cdot 10^{14}\,\mathrm{Hz} \\[6pt] E &= 6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 5{,}09 \cdot 10^{14}\,\mathrm{J} \approx 3{,}38 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} \\[6pt] E &= \frac{3{,}38 \cdot 10^{-19}}{1{,}60 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{eV} \approx 2{,}11\,\mathrm{eV} \end{aligned}

La luce è un’onda elettromagnetica che si propaga con velocità $c$ , quindi frequenza e lunghezza d’onda sono legate da $c = \lambda f$ . Si esprime la lunghezza d’onda in metri, $589\,\mathrm{nm} = 5{,}89 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}$ , e si divide $c$ per $\lambda$ .

Per l’ipotesi dei fotoni di Einstein la luce di frequenza $f$ è formata da fotoni di energia $hf$ . Il prodotto dà circa $3{,}38 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ . Poiché $1\,\mathrm{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J}$ , per passare agli elettronvolt si divide per $1{,}60 \cdot 10^{-19}$ , e si ottiene $2{,}11\,\mathrm{eV}$ . Lo stesso valore si ottiene con la formula rapida $E \approx \dfrac{1240}{589}\,\mathrm{eV}$ .

Esercizio 2

Un puntatore laser verde emette luce di lunghezza d’onda $\lambda = 532\,\mathrm{nm}$ con potenza $P = 5{,}0\,\mathrm{mW}$ . Calcola l’energia di un fotone, il numero di fotoni emessi in un secondo e il numero di fotoni emessi in due minuti. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ e $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

E = \frac{h c}{\lambda} , \qquad P = \frac{N E}{\Delta t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{N}{\Delta t} = \frac{P}{E}

\begin{aligned} E &= \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{5{,}32 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{J} \approx 3{,}74 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} \\[6pt] \frac{N}{\Delta t} &= \frac{5{,}0 \cdot 10^{-3}}{3{,}74 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{s^{-1}} \approx 1{,}3 \cdot 10^{16}\,\mathrm{s^{-1}} \\[6pt] N_{120} &= 1{,}34 \cdot 10^{16} \cdot 120 \approx 1{,}6 \cdot 10^{18} \end{aligned}

Ogni fotone trasporta l’energia $E = \dfrac{hc}{\lambda}$ , che si calcola con la lunghezza d’onda in metri. Se in un intervallo $\Delta t$ il laser emette $N$ fotoni, l’energia emessa è $NE$ , e la potenza è l’energia divisa per il tempo. Ricavando $\dfrac{N}{\Delta t}$ dalla relazione $P = \dfrac{NE}{\Delta t}$ si ottiene il numero di fotoni al secondo, che è la potenza divisa per l’energia di un fotone.

Il laser emette circa $1{,}3 \cdot 10^{16}$ fotoni al secondo. In due minuti, cioè $120\,\mathrm{s}$ , il numero si moltiplica per $120$ e diventa circa $1{,}6 \cdot 10^{18}$ . Numeri così grandi spiegano perché un fascio di luce appare continuo e i singoli fotoni non si notano.

Esercizio 3

Un corpo di massa $m = 0{,}20\,\mathrm{kg}$ appeso a una molla oscilla con frequenza $f = 2{,}0\,\mathrm{Hz}$ e ampiezza $A = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ . Secondo l’ipotesi di Planck l’energia dell’oscillatore può assumere solo i valori $E = n h f$ . Calcola l’energia meccanica dell’oscillatore, il quanto di energia $hf$ e il numero quantico $n$ dello stato. Spiega perché la quantizzazione non si osserva. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ .

E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2 , \qquad \omega = 2\pi f , \qquad n = \frac{E}{h f}

\begin{aligned} \omega &= 2\pi \cdot 2{,}0\,\mathrm{rad/s} \approx 12{,}6\,\mathrm{rad/s} \\[6pt] E &= \frac{1}{2} \cdot 0{,}20 \cdot 12{,}57^2 \cdot 0{,}050^2\,\mathrm{J} \approx 3{,}9 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{J} \\[6pt] h f &= 6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 2{,}0\,\mathrm{J} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-33}\,\mathrm{J} \\[6pt] n &= \frac{3{,}95 \cdot 10^{-2}}{1{,}33 \cdot 10^{-33}} \approx 3{,}0 \cdot 10^{31} \end{aligned}

Il corpo sulla molla è un oscillatore armonico. Nella posizione di equilibrio tutta la sua energia è cinetica, e la velocità massima è $\omega A$ ; perciò l’energia meccanica è $\dfrac{1}{2} m (\omega A)^2$ . La pulsazione è $\omega = 2\pi f \approx 12{,}6\,\mathrm{rad/s}$ e l’ampiezza in metri è $0{,}050\,\mathrm{m}$ , quindi l’energia vale circa $3{,}9 \cdot 10^{-2}\,\mathrm{J}$ .

Per l’ipotesi di Planck l’energia può variare solo a salti di $hf \approx 1{,}3 \cdot 10^{-33}\,\mathrm{J}$ . Il numero quantico è il rapporto tra l’energia e il quanto, circa $3{,}0 \cdot 10^{31}$ . Un salto di un quanto cambia quindi l’energia di una parte su $3 \cdot 10^{31}$ . Nessuna misura di ampiezza o di velocità ha una precisione paragonabile, perciò per un oscillatore macroscopico l’energia appare continua.

Esercizio 4

Una lampada emette in modo uniforme in tutte le direzioni la potenza $P = 60\,\mathrm{W}$ , di cui il $5{,}0\%$ come luce visibile. Si consideri tutta la luce visibile con la lunghezza d’onda media $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ . Calcola il numero di fotoni visibili emessi al secondo e il numero di fotoni al secondo che entrano nella pupilla di un occhio, di diametro $d = 4{,}0\,\mathrm{mm}$ , posto a $r = 4{,}0\,\mathrm{m}$ dalla lampada. Usa $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ e $c = 3{,}00 \cdot 10^{8}\,\mathrm{m/s}$ .

P_{\text{vis}} = 0{,}050\, P , \qquad E = \frac{h c}{\lambda} , \qquad \frac{N}{\Delta t} = \frac{P_{\text{vis}}}{E}

\frac{S_{\text{pupilla}}}{S_{\text{sfera}}} = \frac{\pi \left( \dfrac{d}{2} \right)^2}{4\pi r^2} = \frac{d^2}{16\, r^2}

\begin{aligned} P_{\text{vis}} &= 0{,}050 \cdot 60\,\mathrm{W} = 3{,}0\,\mathrm{W} \\[6pt] E &= \frac{6{,}63 \cdot 10^{-34} \cdot 3{,}00 \cdot 10^{8}}{5{,}50 \cdot 10^{-7}}\,\mathrm{J} \approx 3{,}62 \cdot 10^{-19}\,\mathrm{J} \\[6pt] \frac{N}{\Delta t} &= \frac{3{,}0}{3{,}62 \cdot 10^{-19}}\,\mathrm{s^{-1}} \approx 8{,}3 \cdot 10^{18}\,\mathrm{s^{-1}} \\[6pt] \frac{S_{\text{pupilla}}}{S_{\text{sfera}}} &= \frac{\left( 4{,}0 \cdot 10^{-3} \right)^2}{16 \cdot 4{,}0^2} = 6{,}25 \cdot 10^{-8} \\[6pt] \frac{N_{\text{occhio}}}{\Delta t} &= 8{,}30 \cdot 10^{18} \cdot 6{,}25 \cdot 10^{-8}\,\mathrm{s^{-1}} \approx 5{,}2 \cdot 10^{11}\,\mathrm{s^{-1}} \end{aligned}

La potenza visibile è il $5{,}0\%$ della potenza totale, cioè $3{,}0\,\mathrm{W}$ . Il numero di fotoni al secondo è la potenza visibile divisa per l’energia di un fotone, come nell’esercizio sul laser, e risulta circa $8{,}3 \cdot 10^{18}$ fotoni al secondo.

La lampada emette in modo uniforme in tutte le direzioni, quindi alla distanza $r$ i fotoni si distribuiscono uniformemente sulla sfera di area $4\pi r^2$ . La pupilla è un cerchio di raggio $\dfrac{d}{2}$ e area $\pi \dfrac{d^2}{4}$ , perciò riceve la frazione dei fotoni uguale al rapporto tra la sua area e quella della sfera. Semplificando $\pi$ si ottiene $\dfrac{d^2}{16 r^2}$ , che vale $6{,}25 \cdot 10^{-8}$ .

Nell’occhio entrano quindi circa $5{,}2 \cdot 10^{11}$ fotoni al secondo. Anche una frazione così piccola della luce emessa contiene un numero enorme di fotoni.