Problemi completi sul circuito RL

Esercizio 1

Un solenoide in aria lungo $\ell =40\mathrm{cm}$, con $N=1200$ spire di raggio $r=2,0\mathrm{cm}$ e resistenza trascurabile, è collegato in serie a un resistore $R=6,0\mathrm{\Omega }$ e a un generatore ideale di f.e.m. $\mathcal{E}=12\mathrm{V}$; l’interruttore viene chiuso all’istante $t=0$. Il solenoide è lungo rispetto al raggio (${\mu }_0=4\pi \cdot 10^{-7}\mathrm{T}\cdot m/A$).

1. Calcola l’induttanza del solenoide e la costante di tempo del circuito.
2. Calcola dopo quanto tempo la corrente raggiunge il $99\%$ del valore di regime.
3. Calcola l’energia magnetica a regime, prima con l’induttanza e poi con la densità di energia del campo magnetico.

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Esercizio 2

Per misurare l’induttanza di una bobina, che si può considerare ideale, uno studente la collega in serie a un resistore $R=30\mathrm{\Omega }$, a un interruttore e a un generatore ideale di f.e.m. $\mathcal{E}=9,0\mathrm{V}$. Chiude l’interruttore all’istante $t=0$ e registra la corrente con un sensore. Nel grafico della figura, che riporta i dati, la corrente tende a un valore di regime e all’istante $t=4,0\mathrm{ms}$ vale $190\mathrm{mA}$.

1. Spiega perché la corrente non assume subito il valore di regime. Calcola il valore di regime, la costante di tempo e l’induttanza della bobina.
2. Calcola la tensione ai capi della bobina all’istante $t=4,0\mathrm{ms}$ e spiega il verso della f.e.m. autoindotta.
3. Nei primi $4,0\mathrm{ms}$ calcola il lavoro compiuto dal generatore, l’energia immagazzinata nella bobina e l’energia dissipata nel resistore.
4. A regime un deviatore esclude il generatore e il resistore, e chiude la bobina su un resistore di protezione $R^{\prime }=1200\mathrm{\Omega }$. Calcola la tensione massima ai capi di $R^{\prime }$, la nuova costante di tempo e il tempo dopo il quale la corrente è scesa a $1,0\mathrm{mA}$.

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