Esercizi svolti · Scheda 2

Onde armoniche e relazione tra i campi

Teoria usata: Onda armonica Relazione tra campo elettrico e campo magnetico Velocità delle onde elettromagnetiche Onda piana

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Esercizio 1

Un’onda radio piana armonica di frequenza $f = 100 MHz$ si propaga nel vuoto, e l’ampiezza del suo campo elettrico è $E_{0} = 0, 30 V/m$ . Calcolare la lunghezza d’onda, il periodo, la pulsazione, il numero d’onda e l’ampiezza del campo magnetico.

λ = \frac{c}{f}, T = \frac{1}{f}, ω = 2 π f, k = \frac{2 π}{λ}, B_{0} = \frac{E _{0}}{c}

λ T ω k B_{0} = \frac{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}}{1 , 00 \cdot 1 0 ^{8}} m = 3, 00 m = \frac{1}{1 , 00 \cdot 1 0 ^{8}} s = 1, 00 \cdot 1 0^{- 8} s = 2 π \cdot 1, 00 \cdot 1 0^{8} rad/s \approx 6, 28 \cdot 1 0^{8} rad/s = \frac{2 π}{3 , 00} rad/m \approx 2, 09 rad/m = \frac{0 , 30}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}} T = 1, 0 \cdot 1 0^{- 9} T

Nel vuoto tutte le onde elettromagnetiche si propagano con velocità $c$ , e per un’onda armonica vale $c = λ f$ , quindi la lunghezza d’onda è il rapporto tra $c$ e la frequenza. Il periodo è il reciproco della frequenza, la pulsazione è $2 π f$ e il numero d’onda è $\frac{2 π}{λ}$ ; come controllo, $\frac{ω}{k} = \frac{6 , 28 \cdot 1 0 ^{8}}{2 , 09} m/s \approx 3, 00 \cdot 1 0^{8} m/s$ , che è proprio $c$ . Per la relazione tra campo elettrico e campo magnetico di un’onda piana, le ampiezze soddisfano $E_{0} = c B_{0}$ , perciò il campo magnetico ha ampiezza di appena $1, 0 nT$ .

Esercizio 2

Un’onda piana armonica di luce verde, con lunghezza d’onda $λ = 500 nm$ , si propaga nel vuoto nel verso positivo dell’asse $x$ . Il suo campo elettrico è diretto lungo l’asse $z$ e vale

E (x, t) = E_{0} sin (k x - ω t) \hat{k}, E_{0} = 6, 0 V/m .

Calcolare frequenza, pulsazione e numero d’onda, e scrivere l’espressione del campo magnetico $B (x, t)$ .

f = \frac{c}{λ}, ω = 2 π f, k = \frac{2 π}{λ}, B_{0} = \frac{E _{0}}{c}

\hat{k} \times (- \overset{}{^}) = \overset{}{^} ⟹ B (x, t) = - B_{0} sin (k x - ω t) \overset{}{^}

f ω k B_{0} = \frac{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}}{5 , 00 \cdot 1 0 ^{- 7}} Hz = 6, 00 \cdot 1 0^{14} Hz = 2 π \cdot 6, 00 \cdot 1 0^{14} rad/s \approx 3, 77 \cdot 1 0^{15} rad/s = \frac{2 π}{5 , 00 \cdot 1 0 ^{- 7}} rad/m \approx 1, 26 \cdot 1 0^{7} rad/m = \frac{6 , 0}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}} T = 2, 0 \cdot 1 0^{- 8} T

B (x, t) = - 2, 0 \cdot 1 0^{- 8} sin (1, 26 \cdot 1 0^{7} x - 3, 77 \cdot 1 0^{15} t) \overset{}{^} T

Frequenza, pulsazione e numero d’onda seguono da $c = λ f$ e dalle definizioni dell’onda armonica. Per il campo magnetico si usa la relazione tra campo elettrico e campo magnetico: in un’onda piana progressiva $B$ oscilla in fase con $E$ , ha modulo $\frac{E}{c}$ , è perpendicolare sia a $E$ sia alla direzione di propagazione, e $E \times B$ ha il verso di propagazione. Il campo elettrico è lungo $\hat{k}$ e l’onda va verso $\overset{}{^}$ , quindi $B$ è lungo l’asse $y$ . Poiché $\hat{k} \times \overset{}{^} = - \overset{}{^}$ e $\hat{k} \times (- \overset{}{^}) = \overset{}{^}$ , quando $E_{z}$ è positivo il campo magnetico deve puntare verso $- \overset{}{^}$ ; perciò $B_{y} = - \frac{E _{z}}{c}$ e il campo magnetico è diretto come $- \overset{}{^}$ quando $sin (k x - ω t) > 0$ .

Esercizio 3

Un’onda piana armonica si propaga nel vuoto nel verso positivo dell’asse $x$ , con il campo elettrico diretto lungo l’asse $y$ . Nell’istante $t = 0$ il campo elettrico vale $E_{y} (x, 0) = E_{0} sin (k x)$ , con $E_{0} = 12 V/m$ , e due massimi consecutivi si trovano in $x = 1, 0 m$ e in $x = 5, 0 m$ . Calcolare la lunghezza d’onda e la frequenza, il vettore campo magnetico nel punto $x = 1, 0 m$ all’istante $t = 0$ , e il primo istante $t > 0$ in cui il campo elettrico in quel punto si annulla.

Campo elettrico

E_{y}

(in

V/m

) in funzione di

x

(in metri) nell'istante

t = 0

: due massimi consecutivi distano una lunghezza d'onda

λ = 5, 0 m - 1, 0 m = 4, 0 m, f = \frac{c}{λ} = \frac{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}}{4 , 0} Hz = 7, 5 \cdot 1 0^{7} Hz

E_{y} (x, t) = E_{0} sin (k x - ω t), B_{z} (x, t) = \frac{E _{0}}{c} sin (k x - ω t)

k \cdot 1, 0 m = \frac{2 π}{4 , 0} \cdot 1, 0 = \frac{π}{2} ⟹ B (1, 0 m, 0) = \frac{E _{0}}{c} \hat{k} = \frac{12}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}} \hat{k} T = 4, 0 \cdot 1 0^{- 8} \hat{k} T

\frac{π}{2} - ω t = 0 ⟹ t = \frac{π}{2 ω} = \frac{T}{4} = \frac{1}{4 f} = \frac{1}{4 \cdot 7 , 5 \cdot 1 0 ^{7}} s \approx 3, 3 \cdot 1 0^{- 9} s

Nell’istante $t = 0$ il campo è periodico nello spazio con periodo $λ$ , quindi la distanza tra due massimi consecutivi è la lunghezza d’onda, $4, 0 m$ , e da $c = λ f$ segue $f = 75 MHz$ . L’onda va nel verso positivo dell’asse $x$ , perciò la sua espressione è $E_{0} sin (k x - ω t)$ , che per $t = 0$ restituisce il profilo dato.

Per la relazione tra campo elettrico e campo magnetico, con $E$ lungo $\overset{}{^}$ e propagazione verso $\overset{}{^}$ , il campo magnetico è $B_{z} = \frac{E _{y}}{c}$ lungo $\hat{k}$ . Nel punto $x = 1, 0 m$ , all’istante $t = 0$ , l’argomento vale $\frac{π}{2}$ e il campo elettrico è massimo; poiché i due campi sono in fase, anche il campo magnetico è massimo e vale $4, 0 \cdot 1 0^{- 8} T$ nel verso di $\hat{k}$ .

Nello stesso punto il campo elettrico si annulla per la prima volta quando l’argomento passa da $\frac{π}{2}$ a $0$ , cioè dopo un quarto di periodo, circa 3,3 ns. Lo stesso risultato si ottiene osservando che in quel tempo il profilo trasla di $c \frac{T}{4} = \frac{λ}{4} = 1, 0 m$ , quindi in $x = 1, 0 m$ arriva il punto del profilo che a $t = 0$ si trovava nell’origine, dove il campo è nullo.