Teoria

Campo magnetico e forza di Lorentz

Come un campo magnetico agisce su cariche in moto e su correnti, dalla forza di Lorentz al moto circolare ed elicoidale delle particelle, al selettore di velocità, allo spettrometro di massa e all'effetto Hall, fino alla forza su un filo e al momento delle forze su una spira, descritto dal momento magnetico.

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Campo magnetico e linee di campo
Forza di Lorentz

Campo magnetico e linee di campo

In tutto l’argomento il campo magnetico è assegnato e costante nel tempo, il sistema di riferimento è inerziale e le velocità delle particelle sono piccole rispetto alla velocità della luce. Le correnti che producono il campo sono trattate nell’argomento sulle sorgenti del campo magnetico.

1. Campo magnetico

In una regione di spazio c’è un campo magnetico se una carica in moto vi subisce, oltre all’eventuale forza elettrica, una forza che dipende dalla sua velocità. Sperimentalmente in ogni punto esiste una direzione lungo la quale una carica in moto non subisce questa forza; per una velocità perpendicolare a quella direzione la forza ha il modulo massimo $F_{m a x}$ , proporzionale alla carica $q$ e al modulo $v$ della velocità. Il campo magnetico $B$ è il vettore che ha quella direzione e modulo

B = \frac{F _{m a x}}{∣ q ∣ v},

mentre il verso è fissato dalla legge della forza di Lorentz. Nel Sistema Internazionale il campo magnetico si misura in tesla, $1 T = 1 N \cdot s/ (C \cdot m) = 1 N/ (A \cdot m)$ ; si usa anche il gauss, $1 G = 1 0^{- 4} T$ . Il campo magnetico terrestre ha modulo dell’ordine di $5 \cdot 1 0^{- 5} T$ , una calamita da laboratorio produce vicino ai poli campi dell’ordine di $0, 1 T$ , e i magneti per la risonanza magnetica arrivano a qualche tesla.

2. Linee del campo magnetico

Le linee del campo magnetico sono curve orientate tangenti in ogni punto a $B$ e con lo stesso verso; dove le linee sono più fitte il campo è più intenso. Un piccolo ago magnetico libero di ruotare si dispone lungo la linea di campo, e il suo polo nord ne indica il verso. Fuori da una calamita le linee escono dal polo nord ed entrano nel polo sud, e all’interno proseguono dal polo sud al polo nord; le linee del campo magnetico sono quindi chiuse.

Il campo elettrostatico ha linee che partono dalle cariche positive e terminano sulle negative. Le linee chiuse del campo magnetico corrispondono invece all’assenza di cariche magnetiche isolate; infatti spezzando una calamita si ottengono due calamite, ciascuna con un polo nord e un polo sud. La forma quantitativa di questa proprietà, la legge di Gauss per il campo magnetico, è trattata nell’argomento sulle sorgenti del campo magnetico.

Linee del campo magnetico di una calamita a barra: escono dal polo nord, entrano nel polo sud e si chiudono all'interno della calamita

Campo perpendicolare al foglio

Nei disegni piani un vettore perpendicolare al foglio si rappresenta con un simbolo: $\otimes$ indica un vettore entrante nel foglio, come la coda di una freccia che si allontana, e $⊙$ un vettore uscente, come la punta di una freccia che si avvicina. Un campo uniforme entrante si disegna quindi come una griglia regolare di simboli $\otimes$ . Con il foglio nel piano $x y$ e l’asse $z$ rivolto verso chi legge, un campo entrante è $B = - B \hat{k}$ e un campo uscente è $B = B \hat{k}$ .

Forza di Lorentz

Una carica puntiforme $q$ che si muove con velocità $v$ in un campo magnetico $B$ subisce la forza

F = q v \times B, F = ∣ q ∣ v B sin φ,

dove $φ$ è l’angolo tra $v$ e $B$ . È una legge sperimentale, che completa la definizione di campo magnetico fissando il verso di $B$ . La forza è perpendicolare sia alla velocità sia al campo; è nulla per una carica ferma o in moto parallelamente a $B$ , ed è massima, $∣ q ∣ v B$ , per una velocità perpendicolare al campo. Il verso si trova con la regola della mano destra applicata a $v \times B$ , e si inverte per una carica negativa.

Per esempio, un protone con velocità $v = 2, 0 \cdot 1 0^{6} \overset{}{^} m/s$ in un campo $B = 0, 50 \overset{}{^} T$ subisce la forza $F = e v B (\overset{}{^} \times \overset{}{^}) = 1, 6 \cdot 1 0^{- 13} \hat{k} N$ , mentre un elettrone con la stessa velocità subisce la forza opposta.

La forza

F = q v \times B

su una carica positiva è perpendicolare al piano di

v

B

, con il verso dato dalla regola della mano destra

Forza elettrica e forza magnetica insieme

Se nella regione ci sono un campo elettrico $E$ e un campo magnetico $B$ , la forza su una carica puntiforme è la somma della forza elettrica e della forza magnetica,

F = q (E + v \times B),

e in molti testi è questa somma a chiamarsi forza di Lorentz. La parte elettrica agisce anche su una carica ferma, mentre la parte magnetica agisce solo su cariche in moto e dipende dalla velocità. Il confronto tra i due termini permette di separare le particelle in base alla velocità, come nel selettore di velocità.

Lavoro della forza magnetica

La forza magnetica $q v \times B$ su una carica in moto compie lavoro nullo lungo qualunque traiettoria. Di conseguenza, se sulla carica agisce solo la forza magnetica, l’energia cinetica e il modulo della velocità restano costanti, e varia solo la direzione della velocità. Per cambiare l’energia di una particella carica serve un campo elettrico, come nell’acceleratore che precede uno spettrometro di massa. In questa materia il lavoro si indica con $W$ , perché la lettera $L$ indica l’induttanza.

Dimostrazione

La potenza della forza magnetica è

P = F \cdot v = q (v \times B) \cdot v = 0,

perché il prodotto vettoriale $v \times B$ è perpendicolare a $v$ . Quindi il lavoro in un intervallo di tempo $[t_{1}, t_{2}]$ è $W = \int_{t_{1}}^{t_{2}} P d t = 0$ . Se la forza magnetica è l’unica forza, per il teorema dell’energia cinetica si ha $K_{2} - K_{1} = W = 0$ , perciò $\frac{1}{2} m v^{2}$ è costante, e con essa il modulo $v$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (moto di una carica in un campo magnetico uniforme, selettore di velocità e spettrometro di massa, effetto hall…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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