Teoria

Sorgenti del campo magnetico

Come le correnti producono il campo magnetico, dalla legge di Biot-Savart ai campi di fili, spire e archi, alla forza tra fili paralleli e alla definizione dell'ampere, fino alla legge di Ampère con le sue applicazioni a filo, cavo coassiale, solenoide e toroide, al flusso del campo magnetico e a un cenno ai materiali magnetici.

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Legge di Biot-Savart
Campo di un filo rettilineo

Legge di Biot-Savart

In tutto l’argomento le correnti sono stazionarie, i conduttori si trovano nel vuoto, salvo dove si trattano i materiali magnetici, e i fili sono filiformi, cioè di sezione trascurabile rispetto alle distanze in gioco.

Si consideri un circuito filiforme percorso dalla corrente stazionaria $I$ . Un tratto infinitesimo del filo, rappresentato dal vettore $d l$ tangente al filo e orientato nel verso della corrente, produce nel punto $P$ il campo magnetico

d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l \times r ^}{r ^{2}},

dove $r$ è il vettore che va dal tratto al punto $P$ , $r$ è il suo modulo e $\overset{r}{^}$ il suo versore. Il campo dell’intero circuito è la somma di tutti i contributi:

B (P) = \frac{μ _{0} I}{4 π} \oint \frac{d l \times r ^}{r ^{2}} .

La costante $μ_{0} = 4 π \cdot 1 0^{- 7} T \cdot m/A$ è la permeabilità magnetica del vuoto. La legge di Biot-Savart è una legge sperimentale, ricavata nel 1820 dalle misure del campo prodotto da fili di varie forme, e dà il campo magnetico delle correnti come la legge di Coulomb dà il campo elettrico delle cariche.

Il modulo del contributo è $d B = \frac{μ _{0}}{4 π} \frac{I d l sin φ}{r ^{2}}$ , con $φ$ angolo tra $d l$ e $r$ , ed è nullo nei punti allineati con il tratto. Per esempio, un tratto lungo $1, 0 mm$ di un filo percorso da $10 A$ produce, in un punto a $5, 0 cm$ in direzione perpendicolare al filo, il contributo $d B = 1 0^{- 7} \cdot \frac{10 \cdot 1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}}{( 5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 2} ) ^{2}} T = 4, 0 \cdot 1 0^{- 7} T$ .

Il tratto

d l

del filo produce in

P

il contributo

d B

, perpendicolare sia a

d l

sia a

r

: qui entra nel foglio

Direzione e verso del campo

Il contributo $d B$ è perpendicolare al piano che contiene $d l$ e $r$ , e il suo verso si trova con la regola della mano destra: con il pollice nel verso della corrente, le dita piegate indicano il verso in cui il campo gira attorno al filo. Nelle figure il simbolo $⊙$ indica un vettore uscente dal foglio e il simbolo $\otimes$ un vettore entrante.

Una corrente stazionaria scorre in un circuito chiuso, quindi ha significato misurabile solo l’integrale esteso a tutto il circuito; il contributo di una parte, per esempio di un tratto rettilineo, va sommato a quello del resto del circuito, oppure trascurato se il resto è lontano.

Campo di un filo rettilineo

1. Campo di un tratto rettilineo

Si consideri un tratto rettilineo di un circuito, percorso dalla corrente $I$ , e un punto $P$ a distanza $d$ dalla retta del tratto. Sia $H$ il piede della perpendicolare condotta da $P$ alla retta, e sia $s$ la coordinata lungo la retta con origine in $H$ , orientata nel verso della corrente; il tratto va da $s_{1}$ a $s_{2}$ , con $s_{1} < s_{2}$ . Il contributo del tratto al campo in $P$ è perpendicolare al piano che contiene il filo e $P$ , e ha modulo

B = \frac{μ _{0} I}{4 π d} (\frac{s _{2}}{s _{2}^{2} + d ^{2}} - \frac{s _{1}}{s _{1}^{2} + d ^{2}}) = \frac{μ _{0} I}{4 π d} (sin θ_{2} - sin θ_{1}),

dove $θ_{1}$ e $θ_{2}$ sono gli angoli tra $P H$ e le congiungenti di $P$ con gli estremi, presi positivi dalla parte verso cui scorre la corrente e negativi dalla parte opposta.

La formula serve per i circuiti formati da tratti rettilinei, come una spira quadrata o rettangolare: il campo in un punto è la somma vettoriale dei contributi dei lati. Per un tratto lungo $30 cm$ percorso da $5, 0 A$ , in un punto a $d = 10 cm$ dal suo punto medio si ha $s_{2} = - s_{1} = 0, 15 m$ , quindi $B = \frac{1 0 ^{- 7} \cdot 5 , 0}{0 , 10} \cdot 2 \cdot \frac{0 , 15}{0 , 1 5 ^{2} + 0 , 1 0 ^{2}} T \approx 8, 3 \cdot 1 0^{- 6} T$ .

Tratto rettilineo da

s_{1}

s_{2}

e punto

P

a distanza

d

; con la corrente verso destra il campo in

P

esce dal foglio

Dimostrazione

Si scelgono l’asse $x$ lungo il filo, con origine in $H$ e orientato come la corrente, e l’asse $y$ verso $P$ , così che $P = (0, d)$ . Il tratto infinitesimo in posizione $s$ è $d l = d s \overset{}{^}$ , e il vettore che va dal tratto a $P$ è $r = - s \overset{}{^} + d \overset{}{^}$ , di modulo $s^{2} + d^{2}$ . Poiché $\overset{}{^} \times \overset{}{^} = 0$ e $\overset{}{^} \times \overset{}{^} = \hat{k}$ ,

d l \times r = d d s \hat{k}, d B = \frac{μ _{0} I}{4 π} \frac{d l \times r}{r ^{3}} = \frac{μ _{0} I}{4 π} \frac{d d s}{( s ^{2} + d ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} \hat{k} .

Tutti i contributi hanno quindi la direzione e il verso di $\hat{k}$ , e i moduli si sommano. Con la sostituzione $s = d tan u$ si ha $d s = \frac{d}{cos ^{2} u} d u$ e $(s^{2} + d^{2})^{\frac{3}{2}} = \frac{d ^{3}}{cos ^{3} u}$ , perciò

\int \frac{d d s}{( s ^{2} + d ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{d} \int cos u d u = \frac{sin u}{d} = \frac{s}{d s ^{2} + d ^{2}} + c .

Calcolando la primitiva tra $s_{1}$ e $s_{2}$ si ottiene la tesi; infine $\frac{s _{i}}{s _{i}^{2} + d ^{2}} = sin θ_{i}$ , perché $s_{i}$ è il cateto opposto a $θ_{i}$ nel triangolo rettangolo di cateto $P H = d$ .

2. Campo di un filo rettilineo infinito

Un filo rettilineo infinito percorso dalla corrente $I$ produce, a distanza $d$ dal filo, un campo di modulo

B = \frac{μ _{0} I}{2 π d} .

Le linee di campo sono circonferenze centrate sul filo, in piani perpendicolari al filo, percorse nel verso dato dalla regola della mano destra. Un filo semi-infinito che termina nel piede $H$ della perpendicolare condotta da $P$ produce in $P$ un campo di modulo $\frac{μ _{0} I}{4 π d}$ , metà del precedente.

Il filo infinito è il modello di un filo rettilineo lungo, nei punti la cui distanza dal filo è piccola rispetto alla distanza dagli estremi e dal resto del circuito. Un filo percorso da $10 A$ produce a $2, 0 cm$ il campo $B = \frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 10}{2 π \cdot 0 , 020} T = 1, 0 \cdot 1 0^{- 4} T$ , dello stesso ordine di grandezza del campo magnetico terrestre, che vale alcune volte $1 0^{- 5} T$ .

Linee di campo di un filo infinito percorso dalla corrente

I

uscente dal foglio: circonferenze concentriche percorse in verso antiorario, con

B = \frac{μ _{0} I}{2 π d}

Dimostrazione

Si applica il teorema sul campo di un tratto rettilineo. Per il filo infinito $s_{1} \to - \infty$ e $s_{2} \to + \infty$ , quindi $sin θ_{1} \to - 1$ e $sin θ_{2} \to 1$ , e

B = \frac{μ _{0} I}{4 π d} (1 - (- 1)) = \frac{μ _{0} I}{2 π d} .

Per il filo semi-infinito che termina in $H$ si ha $s_{1} = 0$ e $s_{2} \to + \infty$ , oppure $s_{1} \to - \infty$ e $s_{2} = 0$ ; in entrambi i casi la differenza dei seni vale $1$ e $B = \frac{μ _{0} I}{4 π d}$ .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (campo di una spira e di un arco, forza tra fili paralleli e definizione dellampere, legge di ampère…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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