Teoria

Induzione elettromagnetica

Come la variazione del flusso magnetico concatenato con un circuito genera una forza elettromotrice, come si calcolano la f.e.m. di una sbarretta in moto e di una spira rotante, che cosa sono l'induttanza e il circuito RL, e dove si trova l'energia del campo magnetico.

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Flusso concatenato e legge di Faraday-Neumann-Lenz
Corrente indotta e legge di Lenz

Flusso concatenato e legge di Faraday-Neumann-Lenz

In tutto l’argomento i circuiti si trovano nel vuoto (o in aria), e le correnti variano abbastanza lentamente da poter applicare in ogni istante le leggi dei circuiti in corrente continua (regime quasi stazionario).

1. Flusso magnetico concatenato

Sia $γ$ un circuito chiuso orientato e sia $S$ una superficie che ha $γ$ come bordo, con la normale $\overset{n}{^}$ legata al verso di $γ$ dalla regola della mano destra. Il flusso magnetico concatenato con $γ$ è

Φ_{B} = \iint_{S} B \cdot \overset{n}{^} d S .

Il flusso di $B$ attraverso una superficie chiusa è nullo, per la legge di Gauss per il magnetismo (si rimanda all’argomento sulle sorgenti del campo magnetico); perciò $Φ_{B}$ è lo stesso per tutte le superfici che hanno $γ$ come bordo e dipende solo dal circuito. L’unità di misura è il weber, $1 Wb = 1 T \cdot m^{2}$ . Per una bobina di $N$ spire uguali il flusso concatenato è $N$ volte il flusso attraverso una spira; in un campo uniforme, con spire piane di area $A$ , vale $Φ_{B} = N B A cos θ$ .

Spira piana vista di taglio in un campo uniforme

B

: il flusso concatenato è

B A cos θ

, dove

θ

è l'angolo tra

B

e la normale

\overset{n}{^}

2. Legge di Faraday-Neumann-Lenz

È una legge sperimentale. Quando il flusso magnetico concatenato con un circuito varia nel tempo, nel circuito si genera una forza elettromotrice indotta

E = - \frac{d Φ _{B}}{d t},

dove $E$ è positiva se agisce nel verso del circuito associato alla normale $\overset{n}{^}$ dalla regola della mano destra. La f.e.m. è determinata dalla rapidità con cui il flusso cambia, qualunque sia il valore del flusso; il segno meno esprime la legge di Lenz sul verso della corrente indotta. Se il flusso varia in modo uniforme nell’intervallo $Δ t$ , la f.e.m. vale $- \frac{Δ Φ _{B}}{Δ t}$ ; in generale questo rapporto è la f.e.m. media.

Per esempio, se il campo perpendicolare a una bobina di $100$ spire di area $20 c m^{2}$ cresce in modo uniforme da $0$ a $0, 60 T$ in $0, 15 s$ , il flusso concatenato aumenta di $100 \cdot 20 \cdot 1 0^{- 4} \cdot 0, 60 Wb = 0, 12 Wb$ e il modulo della f.e.m. è $\frac{0 , 12}{0 , 15} V = 0, 80 V$ .

Modi di far variare il flusso

Per una spira piana in un campo uniforme $Φ_{B} = B A cos θ$ , quindi il flusso varia se cambia almeno uno dei tre fattori.

Varia il modulo del campo, per esempio perché varia la corrente che lo genera o perché un magnete si avvicina; la spira è ferma.
Varia l’area della spira, come quando una sbarretta scorre su due binari conduttori; si parla allora di f.e.m. mozionale.
Varia l’angolo $θ$ , come in una spira che ruota nel campo; è il principio dell’alternatore.

La legge di Faraday-Neumann-Lenz descrive con la stessa formula tutti e tre i casi. Nel primo caso la f.e.m. è dovuta a un campo elettrico indotto, negli altri due alla forza di Lorentz sulle cariche del conduttore in moto.

Corrente indotta e legge di Lenz

1. Corrente indotta

Se il circuito in cui si genera la f.e.m. indotta $E$ è chiuso e ha resistenza complessiva $R$ , e se l’autoinduzione del circuito è trascurabile, in esso circola la corrente indotta

i = \frac{E}{R} = - \frac{1}{R} \frac{d Φ _{B}}{d t} .

La corrente indotta esiste solo finché il flusso varia. Se il circuito è aperto, ai capi dell’interruzione si misura una differenza di potenziale uguale in modulo a $E$ , mentre la corrente è nulla.

2. Carica indotta (legge di Felici)

Si consideri un circuito di resistenza $R$ , con autoinduzione trascurabile, il cui flusso concatenato passa dal valore $Φ_{1}$ all’istante $t_{1}$ al valore $Φ_{2}$ all’istante $t_{2}$ . La carica che attraversa una sezione del circuito nell’intervallo $[t_{1}, t_{2}]$ è

q = \int_{t_{1}}^{t_{2}} i d t = - \frac{Φ _{2} - Φ _{1}}{R} .

La carica dipende solo dalla variazione del flusso, qualunque sia la rapidità con cui avviene, e per questo una misura di carica permette di misurare un campo magnetico. Se una spira circolare di raggio $5, 0 cm$ e resistenza $0, 20 Ω$ viene estratta da un campo perpendicolare di $0, 40 T$ , la carica che la attraversa ha modulo $\frac{0 , 40 \cdot π \cdot 0 , 05 0 ^{2}}{0 , 20} C \approx 16 mC$ , sia che l’estrazione sia lenta sia che sia rapida.

Dimostrazione

Per la definizione di corrente indotta $i = - \frac{1}{R} \frac{d Φ _{B}}{d t}$ , e $R$ è costante. Integrando tra $t_{1}$ e $t_{2}$ , per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ottiene

q = - \frac{1}{R} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{d Φ _{B}}{d t} d t = - \frac{Φ _{2} - Φ _{1}}{R} .

Verso della corrente indotta (legge di Lenz)

Per il segno meno nella legge di Faraday-Neumann-Lenz, la corrente indotta circola nel verso in cui il campo magnetico che essa stessa genera si oppone alla variazione del flusso che l’ha prodotta. In pratica si procede in tre passi: si stabilisce se il flusso attraverso il circuito aumenta o diminuisce; si deduce il verso del campo indotto all’interno del circuito, opposto al campo esterno se il flusso aumenta e concorde se diminuisce; con la regola della mano destra si ricava il verso della corrente.

La legge di Lenz è una conseguenza della conservazione dell’energia. Se la corrente indotta rinforzasse la variazione di flusso, la variazione crescerebbe da sola e il circuito produrrebbe energia elettrica senza ricevere lavoro dall’esterno.

Il campo esterno

B

, uscente dal foglio, aumenta: la corrente indotta circola in verso orario e genera all'interno della spira il campo entrante

B^{'}

, che si oppone all'aumento del flusso

Attenzione

Il campo indotto è opposto alla variazione del flusso, e quindi è concorde con il campo esterno quando questo diminuisce. Se il campo uscente della figura diminuisse, il flusso uscente diminuirebbe; la corrente indotta circolerebbe in verso antiorario e genererebbe un campo uscente, concorde con $B$ , che compensa in parte la diminuzione.

La teoria continua con 8 altri paragrafi (forza elettromotrice mozionale, sbarretta su binari forze e bilancio energetico, spira rotante e alternatore…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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