Esercizi svolti · Scheda 3

Intensità di onde elettromagnetiche

Teoria usata: Intensità di un'onda Vettore di Poynting Intensità di una sorgente isotropa Relazione tra campo elettrico e campo magnetico

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Esercizio 1

Un puntatore laser emette un fascio di potenza $P = 5, 0 mW$ con sezione circolare di diametro $D = 2, 0 mm$ . Supponendo che la potenza sia distribuita uniformemente sulla sezione e che il fascio sia un’onda piana armonica nel vuoto, calcolare l’intensità del fascio e le ampiezze del campo elettrico e del campo magnetico.

I = \frac{P}{π ( \frac{D}{2} ) ^{2}}, I = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{0}^{2} ⟹ E_{0} = \frac{2 I}{c ε _{0}}, B_{0} = \frac{E _{0}}{c}

I E_{0} B_{0} = \frac{5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}}{π \cdot ( 1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3} ) ^{2}} W/ m^{2} \approx 1, 6 \cdot 1 0^{3} W/ m^{2} = \frac{2 \cdot 1 , 59 \cdot 1 0 ^{3}}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8} \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} V/m \approx 1, 1 \cdot 1 0^{3} V/m = \frac{1 , 09 \cdot 1 0 ^{3}}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}} T \approx 3, 6 \cdot 1 0^{- 6} T

L’intensità è la potenza media per unità di area, e la potenza è distribuita uniformemente su un cerchio di raggio $1, 0 mm$ , quindi basta dividere la potenza per l’area della sezione. Per un’onda armonica l’intensità è legata all’ampiezza del campo elettrico da $I = \frac{1}{2} c ε_{0} E_{0}^{2}$ , e risolvendo rispetto a $E_{0}$ si ottiene circa $1, 1 \cdot 1 0^{3} V/m$ ; l’ampiezza del campo magnetico segue da $E_{0} = c B_{0}$ . Il fascio di un puntatore da pochi milliwatt ha un’intensità paragonabile a quella della luce solare, perché la potenza è concentrata su una sezione molto piccola.

Esercizio 2

Una lampada, assimilabile a una sorgente puntiforme isotropa, emette onde elettromagnetiche con potenza media $P = 100 W$ . Supponendo che l’aria non assorba energia, calcolare a distanza $r = 2, 0 m$ dalla lampada l’intensità, l’ampiezza e il valore efficace del campo elettrico, e la distanza alla quale l’intensità si dimezza.

I (r) = \frac{P}{4 π r ^{2}}, E_{0} = \frac{2 I}{c ε _{0}}, E_{eff} = \frac{E _{0}}{2}

\frac{I ( r ^{'} )}{I ( r )} = \frac{r ^{2}}{r ^{'2}} = \frac{1}{2} ⟹ r^{'} = 2 r

I E_{0} E_{eff} r^{'} = \frac{100}{4 π \cdot 2 , 0 ^{2}} W/ m^{2} \approx 1, 99 W/ m^{2} = \frac{2 \cdot 1 , 99}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8} \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} V/m \approx 38, 7 V/m = \frac{38 , 7}{2} V/m \approx 27, 4 V/m = 2 \cdot 2, 0 m \approx 2, 8 m

La sorgente è isotropa e il mezzo non assorbe energia, quindi si applica la formula dell’intensità di una sorgente isotropa: la potenza si distribuisce uniformemente sulla sfera di raggio $r$ , di area $4 π r^{2}$ . Dall’intensità si ricava l’ampiezza come nelle onde armoniche, e il valore efficace è l’ampiezza divisa per $2$ , in modo che $I = c ε_{0} E_{eff}^{2}$ . L’intensità è proporzionale a $\frac{1}{r ^{2}}$ , perciò si dimezza quando $r^{2}$ raddoppia, cioè alla distanza $2 r \approx 2, 8 m$ ; in quel punto l’ampiezza del campo è diminuita solo del fattore $2$ .

Esercizio 3

L’intensità della radiazione solare, misurata fuori dall’atmosfera terrestre alla distanza $d_{T} = 1, 50 \cdot 1 0^{11} m$ dal Sole, è $I_{T} = 1, 36 kW/ m^{2}$ . Considerando il Sole una sorgente isotropa e trascurando l’assorbimento nello spazio interplanetario, calcolare la potenza totale emessa dal Sole, le ampiezze dei campi di un’onda armonica che ha la stessa intensità e l’intensità della radiazione solare all’orbita di Marte, alla distanza $d_{M} = 2, 28 \cdot 1 0^{11} m$ dal Sole.

P = 4 π d_{T}^{2} I_{T}, E_{0} = \frac{2 I _{T}}{c ε _{0}}, B_{0} = \frac{E _{0}}{c}, I_{M} = I_{T} (\frac{d _{T}}{d _{M}})^{2}

P E_{0} B_{0} I_{M} = 4 π \cdot (1, 50 \cdot 1 0^{11})^{2} \cdot 1, 36 \cdot 1 0^{3} W \approx 3, 85 \cdot 1 0^{26} W = \frac{2 \cdot 1 , 36 \cdot 1 0 ^{3}}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8} \cdot 8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} V/m \approx 1, 01 \cdot 1 0^{3} V/m = \frac{1 , 01 \cdot 1 0 ^{3}}{3 , 00 \cdot 1 0 ^{8}} T \approx 3, 37 \cdot 1 0^{- 6} T = 1, 36 \cdot 1 0^{3} \cdot (\frac{1 , 50}{2 , 28})^{2} W/ m^{2} \approx 589 W/ m^{2}

Per l’intensità di una sorgente isotropa, $I_{T} = \frac{P}{4 π d _{T}^{2}}$ , quindi la potenza emessa è l’intensità moltiplicata per l’area della sfera che ha per raggio la distanza Terra-Sole. La luce solare contiene molte frequenze, perciò le ampiezze calcolate sono quelle di un’onda armonica che trasporta la stessa intensità, e danno l’ordine di grandezza dei campi: circa $1 kV/m$ e $3 μ T$ . Il rapporto delle intensità a due distanze diverse è l’inverso del rapporto dei quadrati delle distanze, perché la potenza $P$ è la stessa; Marte riceve quindi meno della metà dell’intensità che riceve la Terra.