Teoria

Oscillazioni elettriche e circuiti in corrente alternata

Come oscilla la carica in un circuito LC e come le oscillazioni si smorzano in un circuito RLC, come resistori, condensatori e induttori rispondono a una tensione sinusoidale, come fasori e impedenza danno corrente e sfasamento, che cosa sono la risonanza e il fattore di potenza, e come un trasformatore cambia la tensione alternata.

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Circuito LC e oscillazioni elettriche
Circuito RLC in serie e oscillazioni smorzate

Circuito LC e oscillazioni elettriche

Si assume che i circuiti siano in regime quasi stazionario, cioè che in ogni istante la corrente abbia lo stesso valore in tutti i punti di un ramo; l’ipotesi è soddisfatta quando il tempo impiegato da un segnale elettromagnetico per attraversare il circuito è trascurabile rispetto al periodo delle grandezze che variano. I fili hanno resistenza trascurabile, salvo dove è indicato un resistore.

1. Oscillazioni del circuito LC

Si consideri un condensatore di capacità $C$ con carica iniziale $Q_{0}$ , collegato all’istante $t = 0$ a un induttore ideale di induttanza $L$ , in un circuito di resistenza trascurabile. Sia $q (t)$ la carica dell’armatura inizialmente positiva e sia $i = \frac{d q}{d t}$ la corrente, con il verso positivo che porta carica su quell’armatura. Allora

q (t) = Q_{0} cos (ω_{0} t), i (t) = - ω_{0} Q_{0} sin (ω_{0} t), ω_{0} = \frac{1}{L C} .

La carica oscilla di moto armonico con pulsazione propria $ω_{0}$ , periodo $T = 2 π L C$ e frequenza $f_{0} = \frac{1}{2 π L C}$ , e la corrente ha ampiezza $I_{0} = ω_{0} Q_{0}$ . Il circuito $L C$ è l’oscillatore elettrico più semplice e si usa per generare segnali di frequenza fissata. Con $L = 10 mH$ e $C = 1, 0 μ F$ si ha $ω_{0} = \frac{1}{1 0 ^{- 2} \cdot 1 0 ^{- 6}} rad/s = 1, 0 \cdot 1 0^{4} rad/s$ e $f_{0} \approx 1, 6 kHz$ .

Circuito

L C

: il verso positivo di

i

è quello in cui la corrente porta carica sull'armatura che ha carica

q

, quindi

i = \frac{d q}{d t}

Dimostrazione

Si percorre la maglia nel verso positivo della corrente. Ai capi dell’induttore la caduta di potenziale è $L \frac{d i}{d t}$ , e ai capi del condensatore, dall’armatura con carica $q$ all’altra, è $\frac{q}{C}$ . Nella maglia non ci sono generatori, quindi per la legge delle maglie la somma delle due cadute è nulla; con $i = \frac{d q}{d t}$ si ottiene

L \frac{d ^{2} q}{d t ^{2}} + \frac{q}{C} = 0 ⟹ \frac{d ^{2} q}{d t ^{2}} + ω_{0}^{2} q = 0, ω_{0}^{2} = \frac{1}{L C} .

È l’equazione del moto armonico, perciò $q (t) = A cos (ω_{0} t + φ)$ . All’istante iniziale la carica è $Q_{0}$ e la corrente è nulla, perché prima della chiusura del circuito l’induttore non è percorso da corrente e la corrente in un induttore varia con continuità. Le condizioni iniziali formano il sistema

{A cos φ = Q_{0} - ω_{0} A sin φ = 0

che con $A > 0$ dà $φ = 0$ e $A = Q_{0}$ . Derivando $q (t)$ si ottiene $i (t)$ .

2. Conservazione dell'energia nel circuito LC

Nel circuito $L C$ la somma dell’energia elettrica del condensatore e dell’energia magnetica dell’induttore è costante:

U = \frac{q ^{2}}{2 C} + \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{Q _{0}^{2}}{2 C} .

L’energia passa dal campo elettrico del condensatore al campo magnetico dell’induttore e viceversa, due volte per periodo. Quando il condensatore è scarico tutta l’energia è nell’induttore, e la corrente è massima in modulo; uguagliando le due espressioni dell’energia si ottiene $\frac{Q _{0}^{2}}{2 C} = \frac{1}{2} L I_{0}^{2}$ , cioè $I_{0} = \frac{Q _{0}}{L C} = ω_{0} Q_{0}$ . Nel circuito con $L = 10 mH$ e $C = 1, 0 μ F$ , se il condensatore è caricato a $10 V$ , si ha $Q_{0} = 10 μ C$ , $U = 50 μ J$ e $I_{0} = 0, 10 A$ .

q(t)

i(t)

Carica

q (t) = Q_{0} cos (ω_{0} t)

e corrente

i (t) = - ω_{0} Q_{0} sin (ω_{0} t)

, misurate in unità di

Q_{0}

e di

ω_{0} Q_{0}

, con il tempo in unità di

\frac{1}{ω _{0}}

: la corrente è massima in modulo quando il condensatore è scarico

Dimostrazione

Derivando $U$ rispetto al tempo e usando $i = \frac{d q}{d t}$ si ottiene

\frac{d U}{d t} = \frac{q}{C} \frac{d q}{d t} + L i \frac{d i}{d t} = i (\frac{q}{C} + L \frac{d i}{d t}) = 0,

perché l’espressione $\frac{q}{C} + L \frac{d i}{d t}$ è nulla per la legge delle maglie. Quindi $U$ è costante e uguale al valore iniziale $\frac{Q _{0}^{2}}{2 C}$ , calcolato quando la corrente è nulla.

Analogia con l'oscillatore massa-molla

L’equazione $L \overset{q}{¨} + \frac{q}{C} = 0$ ha la stessa forma dell’equazione $m \overset{x}{¨} + k x = 0$ dell’oscillatore massa-molla, quindi ogni risultato sull’uno si traduce nell’altro con la corrispondenza seguente.

Oscillatore massa-molla	Circuito $L C$
posizione $x$	carica $q$
velocità $v = \overset{x}{˙}$	corrente $i = \overset{q}{˙}$
massa $m$	induttanza $L$
costante elastica $k$	inverso della capacità $\frac{1}{C}$
energia cinetica $\frac{1}{2} m v^{2}$	energia magnetica $\frac{1}{2} L i^{2}$
energia potenziale $\frac{1}{2} k x^{2}$	energia elettrica $\frac{q ^{2}}{2 C}$
coefficiente di smorzamento $b$	resistenza $R$

Per esempio, la pulsazione $\frac{k}{m}$ dell’oscillatore diventa $\frac{1}{L C}$ . L’induttanza ha il ruolo dell’inerzia, perché si oppone alle variazioni della corrente come la massa si oppone alle variazioni della velocità. Si rimanda all’argomento sulle oscillazioni e il moto armonico di Fisica 1.

Circuito RLC in serie e oscillazioni smorzate

Oscillazioni smorzate del circuito RLC

Si consideri un condensatore di capacità $C$ con carica iniziale $Q_{0}$ che si scarica attraverso un induttore di induttanza $L$ e un resistore di resistenza $R$ , collegati in serie. La carica soddisfa l’equazione

L \frac{d ^{2} q}{d t ^{2}} + R \frac{d q}{d t} + \frac{q}{C} = 0, cio \overset{e}{ˋ} \overset{q}{¨} + 2 γ \overset{q}{˙} + ω_{0}^{2} q = 0, γ = \frac{R}{2 L}, ω_{0} = \frac{1}{L C} .

Il comportamento dipende dal confronto tra $R$ e la resistenza critica $R_{c} = 2 \frac{L}{C}$ , che corrisponde a $γ = ω_{0}$ .

Se $R < R_{c}$ (smorzamento debole), la carica oscilla con ampiezza decrescente, $q (t) = A e^{- γ t} cos (ω_{s} t + φ)$ , con pulsazione $ω_{s} = ω_{0}^{2} - γ^{2}$ minore di $ω_{0}$ .
Se $R = R_{c}$ (smorzamento critico), la carica tende a zero senza oscillare; tra i regimi senza oscillazioni è quello in cui la carica si annulla più rapidamente.
Se $R > R_{c}$ (smorzamento forte), la carica tende a zero senza oscillare, più lentamente che nel caso critico.

Il resistore ha nel circuito il ruolo dell’attrito viscoso nell’oscillatore meccanico. Con $L = 10 mH$ , $C = 1, 0 μ F$ e $R = 2, 0 Ω$ si ha $R_{c} = 200 Ω$ , quindi lo smorzamento è debole, con $γ = 100 s^{- 1}$ e $ω_{s} \approx ω_{0} = 1, 0 \cdot 1 0^{4} rad/s$ .

q(t)

\pm Q_0 e^{-\gamma t}

Scarica di un circuito

R L C

con smorzamento debole: la carica oscilla con pulsazione

ω_{s}

e la sua ampiezza decresce come

Q_{0} e^{- γ t}

, con

γ = \frac{R}{2 L}

Dimostrazione

Si percorre la maglia nel verso positivo della corrente, con $i = \frac{d q}{d t}$ . Ai capi del resistore la caduta di potenziale è $R i$ per la legge di Ohm, e le cadute ai capi del condensatore e dell’induttore sono quelle del circuito $L C$ . Per la legge delle maglie la somma delle tre cadute è nulla, quindi $L \overset{q}{¨} + R \overset{q}{˙} + \frac{q}{C} = 0$ , e dividendo per $L$ si ottiene la seconda forma. L’equazione caratteristica $λ^{2} + 2 γ λ + ω_{0}^{2} = 0$ ha discriminante $4 (γ^{2} - ω_{0}^{2})$ . Se $γ < ω_{0}$ le radici sono complesse coniugate con parte reale $- γ$ , perciò la carica è un’oscillazione di pulsazione $ω_{s}$ moltiplicata per $e^{- γ t}$ . Se $γ \geq ω_{0}$ le radici sono reali e negative, poiché $γ^{2} - ω_{0}^{2} < γ$ , quindi le soluzioni sono combinazioni di esponenziali decrescenti, eventualmente moltiplicati per $t$ , che non oscillano. Infine $γ < ω_{0}$ equivale a $\frac{R}{2 L} < \frac{1}{L C}$ , cioè a $R < 2 \frac{L}{C}$ .

Energia dissipata nel resistore

Derivando l’energia $U = \frac{q ^{2}}{2 C} + \frac{1}{2} L i^{2}$ e usando l’equazione del circuito si ottiene

\frac{d U}{d t} = i (\frac{q}{C} + L \frac{d i}{d t}) = - R i^{2},

quindi l’energia diminuisce con la rapidità $R i^{2}$ , che è la potenza dissipata per effetto Joule nel resistore. Con smorzamento debole e $γ$ molto minore di $ω_{0}$ , l’energia è quella di un circuito $L C$ con carica massima $Q_{0} e^{- γ t}$ , cioè

U (t) \approx \frac{Q _{0}^{2}}{2 C} e^{- 2 γ t} = U_{0} e^{- \frac{R}{L} t} .

L’energia si dimezza dopo il tempo $\frac{L ln 2}{R}$ ; nel circuito con $R = 2, 0 Ω$ e $L = 10 mH$ questo tempo vale circa $3, 5 ms$ , pari a circa cinque periodi e mezzo.

La teoria continua con 7 altri paragrafi (tensioni e correnti alternate, resistore condensatore e induttore in alternata, fasori…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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