Teoria

Flusso del campo elettrico e legge di Gauss

Che cosa misura il flusso del campo elettrico attraverso una superficie, perché il flusso uscente da una superficie chiusa dipende solo dalla carica racchiusa, come la legge di Gauss dà il campo delle distribuzioni con simmetria sferica, cilindrica e piana, e qual è la sua forma locale.

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Flusso del campo elettrico
Flusso attraverso una superficie chiusa

Flusso del campo elettrico

In tutto l’argomento le cariche sono ferme in un sistema di riferimento inerziale e si trovano nel vuoto.

Sia $S$ una superficie orientata, con versore normale $\overset{n}{^}$ . Il flusso del campo elettrico attraverso $S$ è

Φ_{E} = \iint_{S} E \cdot \overset{n}{^} d A = \iint_{S} E cos θ d A,

dove $θ$ è l’angolo tra $E$ e $\overset{n}{^}$ nel punto della superficie. Il flusso è uno scalare e si misura in $N \cdot m^{2} /C$ . Il prodotto $\overset{n}{^} d A$ si indica anche con $d A$ e si chiama vettore elemento di superficie.

Se la superficie è piana, di area $A$ , e il campo è uniforme, l’integrando è costante e

Φ_{E} = E A cos θ .

Il flusso è massimo quando il campo è perpendicolare alla superficie, cioè parallelo a $\overset{n}{^}$ , ed è nullo quando il campo è parallelo alla superficie. Un quadrato di lato $0, 10 m$ in un campo uniforme di $2, 0 \cdot 1 0^{3} N/C$ che forma l’angolo $θ = 3 0^{\circ}$ con la normale è attraversato dal flusso $2, 0 \cdot 1 0^{3} \cdot 0, 010 \cdot cos 3 0^{\circ} N \cdot m^{2} /C \approx 17 N \cdot m^{2} /C$ .

Superficie piana

S

in un campo uniforme; il flusso

Φ_{E} = E A cos θ

dipende dall'angolo

θ

tra

E

e la normale

\overset{n}{^}

Flusso e linee di campo

Le linee di campo si disegnano con densità proporzionale al modulo del campo, cioè in modo che il numero di linee che attraversano una piccola superficie perpendicolare al campo sia proporzionale a $E d A$ . Con questa convenzione il flusso attraverso una superficie è proporzionale al numero di linee che la attraversano, contate con il segno più se passano nel verso di $\overset{n}{^}$ e con il segno meno se passano nel verso opposto. Inclinando una superficie piana rispetto a un campo uniforme, le linee che la attraversano diminuiscono in proporzione a $cos θ$ , in accordo con la formula $E A cos θ$ . Per la costruzione delle linee di campo si rimanda all’argomento sul campo elettrico.

Flusso attraverso una superficie chiusa

Flusso uscente da una superficie chiusa

Una superficie chiusa $S$ , come una sfera o la superficie di un cubo, divide lo spazio in una regione interna limitata e in una regione esterna. Su una superficie chiusa si sceglie per convenzione in ogni punto il versore normale uscente dalla regione interna, e il flusso

Φ_{E} = \oint_{S} E \cdot \overset{n}{^} d A

si chiama flusso uscente da $S$ ; il cerchio sul simbolo d’integrale indica che la superficie è chiusa. Dove il campo esce dalla superficie il contributo al flusso è positivo, dove entra è negativo. Un flusso uscente positivo indica quindi che le linee di campo che escono da $S$ sono più numerose di quelle che entrano, e un flusso nullo che sono tante quante.

Cubo in un campo uniforme

Un cubo di spigolo $ℓ$ si trova in un campo uniforme $E = E \overset{}{^}$ , con le facce parallele ai piani coordinati. Sulla faccia da cui il campo entra il versore uscente è $- \overset{}{^}$ , quindi il flusso è $- E ℓ^{2}$ ; sulla faccia opposta il versore uscente è $\overset{}{^}$ e il flusso è $+ E ℓ^{2}$ . Sulle altre quattro facce il campo è parallelo alla superficie, perciò il flusso è nullo. Il flusso uscente totale è

Φ_{E} = - E ℓ^{2} + E ℓ^{2} + 0 = 0.

Ogni linea di campo che entra nel cubo ne esce, e i due contributi si compensano. Con $E = 2, 0 \cdot 1 0^{3} N/C$ e $ℓ = 0, 10 m$ ciascuna delle due facce perpendicolari al campo è attraversata da un flusso di modulo $20 N \cdot m^{2} /C$ , e il flusso totale è zero.

Cubo in un campo uniforme, visto di lato; il flusso è

- E ℓ^{2}

attraverso la faccia 1,

+ E ℓ^{2}

attraverso la faccia 2 e nullo attraverso le facce parallele al campo, quindi il flusso totale è zero

La teoria continua con 6 altri paragrafi (legge di gauss, calcolo del campo con la legge di gauss, distribuzioni con simmetria sferica…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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