Teoria

Corrente elettrica e circuiti in corrente continua

Che cosa sono l'intensità e la densità di corrente, come la legge di Ohm e la resistività legano corrente e tensione, quanta potenza dissipa un resistore, come si risolve un circuito con generatori reali, resistori in serie e in parallelo e leggi di Kirchhoff, e come si caricano e si scaricano i condensatori in un circuito RC.

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Corrente elettrica e densità di corrente
Legge di Ohm e resistenza

Corrente elettrica e densità di corrente

In tutto l’argomento i conduttori sono metallici e omogenei e i fili di collegamento hanno resistenza trascurabile. Le correnti sono stazionarie, salvo nel circuito RC, dove variano abbastanza lentamente da poter applicare in ogni istante le leggi del regime stazionario.

1. Intensità di corrente

Un moto ordinato di cariche si dice corrente elettrica. Se attraverso una sezione di un conduttore passa la carica $Δ q$ nell’intervallo di tempo $Δ t$ , l’intensità di corrente media è $\frac{Δ q}{Δ t}$ ; l’intensità di corrente istantanea è

i (t) = \frac{d q}{d t},

e quando non varia nel tempo si indica con $I$ . Nel Sistema Internazionale si misura in ampere, $1 A = 1 C/s$ . Il verso convenzionale della corrente è quello in cui si muovono le cariche positive; nei metalli i portatori di carica sono elettroni, che si muovono nel verso opposto.

Dalla definizione segue che la carica che attraversa la sezione tra gli istanti $t_{1}$ e $t_{2}$ è $q = \int_{t_{1}}^{t_{2}} i (t) d t$ , cioè l’area sotto il grafico di $i (t)$ . Una corrente costante di $3, 0 A$ trasporta in un minuto la carica $3, 0 \cdot 60 C = 180 C$ , pari a quella di $\frac{180}{1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19}} \approx 1, 1 \cdot 1 0^{21}$ elettroni.

2. Densità di corrente

La densità di corrente $J$ è il vettore che in ogni punto del conduttore ha la direzione e il verso del moto delle cariche positive e come modulo la corrente per unità di area attraverso una piccola superficie perpendicolare a quella direzione. L’intensità di corrente attraverso una sezione $S$ è il flusso di $J$ :

I = \iint_{S} J \cdot \overset{n}{^} d A .

Se $J$ è uniforme e perpendicolare alla sezione di area $A$ , il flusso si riduce a $I = J A$ . L’unità di misura è $A/ m^{2}$ . L’intensità di corrente descrive il conduttore nel suo insieme, la densità di corrente descrive il moto delle cariche punto per punto; per esempio, una corrente di $2, 0 A$ in un filo di sezione $1, 0 m m^{2}$ ha densità $J = \frac{2 , 0}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}} A/ m^{2} = 2, 0 \cdot 1 0^{6} A/ m^{2}$ .

3. Densità di corrente e velocità di deriva

Si consideri un conduttore con $n$ portatori di carica per unità di volume, ciascuno con carica $q$ , che si muovono con velocità media $v_{d}$ , detta velocità di deriva. Allora

J = n q v_{d} .

Nei metalli $q = - e$ , quindi $J$ e $v_{d}$ hanno versi opposti, e in un filo di sezione $A$ si ha $v_{d} = \frac{I}{n e A}$ . La velocità di deriva è molto piccola: in un filo di rame, con $n = 8, 5 \cdot 1 0^{28} m^{- 3}$ , sezione $1, 0 m m^{2}$ e corrente $2, 0 A$ , vale

v_{d} = \frac{2 , 0}{8 , 5 \cdot 1 0 ^{28} \cdot 1 , 60 \cdot 1 0 ^{- 19} \cdot 1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}} m/s \approx 1, 5 \cdot 1 0^{- 4} m/s .

Una lampada si accende comunque appena si chiude l’interruttore, perché il campo elettrico si stabilisce lungo tutto il filo in un tempo brevissimo e mette in moto quasi insieme gli elettroni di ogni tratto del circuito.

Nel tempo

d t

attraversano la sezione

d A

i portatori contenuti nel cilindro colorato, lungo

v_{d} d t

; la freccia indica il verso della velocità di deriva

v_{d}

Dimostrazione

Si consideri un elemento di superficie $d A$ perpendicolare a $v_{d}$ . Nel tempo $d t$ ogni portatore avanza di $v_{d} d t$ , quindi attraversano $d A$ i portatori contenuti nel cilindro di base $d A$ e altezza $v_{d} d t$ . Il cilindro ha volume $v_{d} d t d A$ e contiene $n v_{d} d t d A$ portatori, perciò la carica che attraversa $d A$ è $d q = n q v_{d} d t d A$ . Dividendo per $d t$ e per $d A$ si ottiene il modulo $∣ J ∣ = n ∣ q ∣ v_{d}$ . Se $q > 0$ la corrente ha il verso di $v_{d}$ , se $q < 0$ ha il verso opposto; in entrambi i casi $J = n q v_{d}$ .

Corrente stazionaria e conservazione della carica

In regime stazionario la distribuzione delle cariche non cambia nel tempo, quindi in ogni regione del conduttore entra tanta carica quanta ne esce. Per la conservazione della carica, il flusso di $J$ attraverso ogni superficie chiusa è nullo:

\iint J \cdot \overset{n}{^} d A = 0.

Ne segue che in un filo senza diramazioni la corrente è la stessa in ogni sezione, anche se la sezione cambia; dove il filo si restringe aumentano la densità di corrente e la velocità di deriva. Per il teorema della divergenza la relazione equivale alla forma locale $\nabla \cdot J = 0$ .

Legge di Ohm e resistenza

1. Resistenza elettrica

Si consideri un conduttore con due estremi $A$ e $B$ , percorso dalla corrente $I$ che entra in $A$ ed esce da $B$ , e sia $Δ V = V_{A} - V_{B}$ . La resistenza del conduttore è

R = \frac{Δ V}{I},

e si misura in ohm, $1 Ω = 1 V/A$ . Nei conduttori la corrente va dal punto a potenziale maggiore al punto a potenziale minore, quindi $R > 0$ . Un componente progettato per avere una resistenza nota si chiama resistore.

2. Legge di Ohm

È una legge sperimentale: per un conduttore metallico a temperatura costante la corrente è proporzionale alla differenza di potenziale applicata,

Δ V = R I,

con $R$ indipendente da $Δ V$ e da $I$ . I conduttori che soddisfano la legge si dicono ohmici, e la loro curva caratteristica, il grafico di $I$ in funzione di $Δ V$ , è una retta per l’origine di pendenza $\frac{1}{R}$ . La legge permette di ricavare una delle tre grandezze note le altre due: un resistore da $20 Ω$ collegato a $12 V$ è percorso da $I = \frac{12}{20} A = 0, 60 A$ .

R_1 = 2\,\Omega

R_2 = 4\,\Omega

Curve caratteristiche di due resistori ohmici, con

Δ V

in volt e

I

in ampere: sono rette per l'origine di pendenza

\frac{1}{R}

, e a parità di tensione il resistore con resistenza minore è percorso da una corrente maggiore

Attenzione

Il rapporto $\frac{Δ V}{I}$ si può calcolare per qualunque componente, ma la legge di Ohm vale solo se il rapporto è costante. Un diodo a semiconduttore è un componente non ohmico: con la tensione applicata in un verso è attraversato da una corrente trascurabile, nel verso opposto la corrente cresce molto rapidamente con la tensione, e la sua curva caratteristica non è una retta.

3. Legge di Ohm in forma locale

È una legge sperimentale: in un materiale ohmico e omogeneo la densità di corrente è proporzionale al campo elettrico,

E = ρ J,

dove $ρ$ è la resistività del materiale; in questo argomento $ρ$ indica sempre la resistività, perché la densità volumica di carica non compare. La resistività si misura in $Ω \cdot m$ , e il suo reciproco $σ = \frac{1}{ρ}$ si chiama conducibilità. La resistenza è una proprietà del singolo oggetto, la resistività una proprietà del materiale. La legge dà il campo elettrico dentro un filo percorso da corrente: nel rame, con $ρ = 1, 7 \cdot 1 0^{- 8} Ω \cdot m$ e $J = 2, 0 \cdot 1 0^{6} A/ m^{2}$ , si ha $E = 0, 034 V/m$ . Il campo è diverso da zero perché il conduttore non è in equilibrio elettrostatico; per i conduttori in equilibrio si rimanda all’argomento su conduttori, condensatori e dielettrici.

4. Resistenza di un filo

Si consideri un conduttore cilindrico omogeneo di lunghezza $ℓ$ , sezione di area $A$ e resistività $ρ$ , percorso da una corrente stazionaria con densità uniforme e parallela all’asse. Allora

R = ρ \frac{ℓ}{A} .

La resistenza è proporzionale alla lunghezza e inversamente proporzionale all’area della sezione. Un filo di rame lungo $10 m$ con sezione di $1, 0 m m^{2}$ ha $R = 1, 7 \cdot 1 0^{- 8} \cdot \frac{10}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}} Ω = 0, 17 Ω$ , una resistenza trascurabile rispetto a quella di quasi tutti gli apparecchi che alimenta.

Dimostrazione

La densità di corrente è uniforme e perpendicolare alla sezione, quindi $J = \frac{I}{A}$ . Per la legge di Ohm in forma locale il campo elettrico è uniforme, parallelo all’asse e di modulo $E = ρ J = \frac{ρ I}{A}$ . La differenza di potenziale tra gli estremi è la circuitazione del campo lungo l’asse, e per un campo uniforme parallelo al percorso vale

Δ V = \int_{0}^{ℓ} E d x = E ℓ = \frac{ρ ℓ}{A} I .

Perciò $R = \frac{Δ V}{I} = ρ \frac{ℓ}{A}$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (resistività e temperatura, potenza ed effetto joule, generatori e forza elettromotrice…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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