Teoria

Conduttori, condensatori e dielettrici

Perché in un conduttore in equilibrio il campo interno è nullo e la carica sta in superficie, come si calcola la capacità dei condensatori piano, sferico e cilindrico e dei loro collegamenti, quanta energia immagazzina il campo elettrico e come un dielettrico modifica capacità, campo ed energia.

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Conduttori in equilibrio elettrostatico
Campo sulla superficie e potere delle punte

Conduttori in equilibrio elettrostatico

In tutto l’argomento le cariche sono in quiete, i conduttori sono omogenei e lo spazio che li circonda è vuoto, salvo dove si introducono i dielettrici. Il lavoro si indica con $W$ .

1. Conduttore in equilibrio elettrostatico

Un conduttore è un materiale che contiene cariche libere di muoversi al suo interno, come gli elettroni di conduzione di un metallo. Un conduttore è in equilibrio elettrostatico quando nessuna carica al suo interno o sulla sua superficie è in moto macroscopico. Quando si carica un conduttore o lo si porta in un campo esterno, le cariche libere si spostano e l’equilibrio si raggiunge in un tempo brevissimo, che nei problemi di elettrostatica si trascura. Tutte le proprietà che seguono valgono per conduttori in equilibrio, e servono a determinare dove si trova la carica e quanto vale il campo senza conoscere il moto delle cariche durante la ridistribuzione.

2. Campo elettrico all'interno di un conduttore

In ogni punto interno al materiale di un conduttore in equilibrio elettrostatico il campo elettrico è nullo:

E = 0 .

Il campo interno è nullo anche quando il conduttore si trova in un campo esterno $E_{0}$ . In questo caso le cariche libere si ridistribuiscono sulla superficie, con la carica negativa sulla parte da cui provengono le linee di $E_{0}$ e la carica positiva sulla parte opposta, e il campo prodotto da queste cariche, dette cariche indotte, annulla $E_{0}$ all’interno del materiale. Il fenomeno si chiama induzione elettrostatica, e la carica totale di un conduttore isolato e neutro resta nulla.

Dimostrazione

Si supponga che in un punto interno $P$ il campo sia $E \neq = 0$ . Una carica libera $q$ in $P$ subisce la forza $q E \neq = 0$ , quindi si mette in moto. Questo contraddice l’ipotesi che il conduttore sia in equilibrio, perciò $E = 0$ in ogni punto interno.

3. Carica sulla superficie di un conduttore

In un conduttore in equilibrio elettrostatico la densità volumica di carica è nulla in ogni punto interno, e l’eventuale carica netta del conduttore si distribuisce sulla sua superficie con densità superficiale $σ$ .

Il risultato dice che per descrivere un conduttore carico basta conoscere $σ$ sulla superficie. La distribuzione di $σ$ dipende dalla forma del conduttore e dalle cariche vicine; su una sfera isolata, per simmetria, è uniforme, e una sfera di raggio $R$ con carica $Q$ ha $σ = \frac{Q}{4 π R ^{2}}$ .

Sfera conduttrice carica in equilibrio: la carica sta sulla superficie, il campo interno è nullo e il campo esterno è perpendicolare alla superficie

Dimostrazione

Sia $P$ un punto interno al materiale e sia $S$ una superficie chiusa che racchiude $P$ e giace tutta all’interno del materiale. Per il teorema sul campo all’interno di un conduttore $E = 0$ in ogni punto di $S$ , quindi il flusso attraverso $S$ è nullo. Per la legge di Gauss la carica racchiusa da $S$ è allora nulla. Poiché $S$ si può scegliere piccola a piacere attorno a $P$ , la densità volumica di carica in $P$ è nulla. Perciò la carica netta, che si conserva, può trovarsi solo sulla superficie.

4. Conduttore equipotenziale

Tutti i punti di un conduttore in equilibrio elettrostatico, interni e sulla superficie, hanno lo stesso potenziale. La superficie del conduttore è quindi una superficie equipotenziale, e il campo nei punti immediatamente esterni è perpendicolare alla superficie.

Al conduttore si assegna perciò un solo valore del potenziale, il potenziale del conduttore, e due conduttori collegati da un filo conduttore formano un unico conduttore, quindi si portano allo stesso potenziale. Questa proprietà permette di calcolare come si ripartisce la carica fra conduttori collegati.

Dimostrazione

Siano $A$ e $B$ due punti del conduttore, collegati da un percorso che passa all’interno del materiale. Lungo il percorso $E = 0$ , quindi $V_{A} - V_{B} = \int_{A}^{B} E \cdot d ℓ = 0$ . Se il campo appena fuori dalla superficie avesse una componente tangente alla superficie, le cariche libere della superficie si muoverebbero lungo di essa, contro l’ipotesi di equilibrio; perciò il campo esterno è perpendicolare alla superficie, in accordo con il fatto che il campo è perpendicolare alle superfici equipotenziali.

Cavità in un conduttore e schermo elettrostatico

Si consideri un conduttore con una cavità al suo interno.

Se la cavità non contiene cariche, il campo nella cavità è nullo e sulla parete della cavità non c’è carica. Infatti una linea di campo nella cavità andrebbe da una carica positiva a una negativa della parete, e l’integrale del campo lungo quella linea sarebbe positivo, mentre la parete è equipotenziale. Un involucro conduttore chiuso isola quindi l’interno dai campi esterni, e si chiama schermo elettrostatico o gabbia di Faraday.
Se la cavità contiene una carica $q$ , sulla parete della cavità si induce la carica $- q$ . Infatti una superficie chiusa contenuta nel materiale e che circonda la cavità ha flusso nullo, quindi racchiude carica totale nulla. Se il conduttore ha carica netta $Q$ , sulla superficie esterna si trova la carica $Q + q$ .

Per esempio, un guscio sferico conduttore neutro che contiene una carica $q = 5, 0 nC$ porta $- 5, 0 nC$ sulla superficie interna e $+ 5, 0 nC$ su quella esterna, e all’esterno il campo è quello di una carica $q$ posta nel centro del guscio, qualunque sia la posizione di $q$ nella cavità.

Campo sulla superficie e potere delle punte

1. Teorema di Coulomb

Sia $σ$ la densità superficiale di carica in un punto della superficie di un conduttore in equilibrio, e sia $\overset{n}{^}$ il versore normale alla superficie rivolto verso l’esterno. Nei punti immediatamente esterni il campo elettrico è

E = \frac{σ}{ε _{0}} \overset{n}{^} .

Il teorema dà il campo vicino a un conduttore a partire dalla densità di carica locale, e viceversa; il campo è uscente dove $σ > 0$ ed entrante dove $σ < 0$ . Per esempio, dove $σ = 1, 0 μ C/ m^{2}$ il campo vale $E = \frac{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 6}}{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12}} V/m \approx 1, 1 \cdot 1 0^{5} V/m$ .

Il cilindretto con le basi di area

Δ A

a cavallo della superficie racchiude la carica

σ Δ A

; il flusso esce solo dalla base esterna

Dimostrazione

Si consideri un piccolo cilindro con le basi di area $Δ A$ parallele alla superficie, una appena fuori e una appena dentro il conduttore, e altezza trascurabile. L’area di base è così piccola che su di essa $σ$ e il campo esterno si possono considerare costanti. Sulla base interna il campo è nullo; sulla superficie laterale, di area trascurabile, il flusso è trascurabile; sulla base esterna il campo è perpendicolare alla superficie, per il teorema sul conduttore equipotenziale, quindi il flusso è $E_{n} Δ A$ , dove $E_{n}$ è la componente di $E$ lungo $\overset{n}{^}$ . Il cilindro racchiude la carica $σ Δ A$ , perciò la legge di Gauss dà

E_{n} Δ A = \frac{σ Δ A}{ε _{0}} ⟹ E_{n} = \frac{σ}{ε _{0}} .

Confronto con il piano carico

Un piano infinito isolato con densità $σ$ produce da ciascun lato il campo $\frac{σ}{2 ε _{0}}$ , come si vede nell’argomento sulla legge di Gauss. Vicino a un conduttore il campo è doppio, $\frac{σ}{ε _{0}}$ , perché al campo della carica locale si somma quello di tutte le altre cariche del conduttore; queste cariche si dispongono in modo che dentro il conduttore i due contributi si annullino e fuori si sommino. Il fattore $2$ si ritrova nella forza tra le armature di un condensatore.

2. Potere delle punte

Si considerino due sfere conduttrici di raggi $R_{1}$ e $R_{2}$ , a una distanza molto maggiore dei raggi e collegate da un filo conduttore sottile, sul quale la carica è trascurabile. All’equilibrio le densità superficiali di carica sono inversamente proporzionali ai raggi:

\frac{σ _{1}}{σ _{2}} = \frac{R _{2}}{R _{1}} .

Per il teorema di Coulomb anche i campi sulle superfici stanno nello stesso rapporto. Il risultato si estende in modo qualitativo a un conduttore di forma qualsiasi, sul quale la densità di carica e il campo sono più intensi dove il raggio di curvatura della superficie è minore, cioè vicino alle punte e agli spigoli. Se il campo vicino a una punta supera la rigidità dielettrica dell’aria, l’aria diventa conduttrice e la punta si scarica; su questo principio funziona il parafulmine. Con $R_{1} = 1 cm$ e $R_{2} = 10 cm$ si ha $σ_{1} = 10 σ_{2}$ .

Su un conduttore appuntito la densità di carica e il campo sono più intensi dove il raggio di curvatura è minore, cioè vicino alla punta

Dimostrazione

Le due sfere e il filo formano un unico conduttore, quindi per il teorema sul conduttore equipotenziale hanno lo stesso potenziale. Poiché le sfere sono lontane, il potenziale di ciascuna è quello di una sfera isolata con la propria carica, perciò

\frac{k Q _{1}}{R _{1}} = \frac{k Q _{2}}{R _{2}} ⟹ \frac{Q _{1}}{Q _{2}} = \frac{R _{1}}{R _{2}} .

Le densità sono $σ_{i} = \frac{Q _{i}}{4 π R _{i}^{2}}$ , quindi $\frac{σ _{1}}{σ _{2}} = \frac{Q _{1}}{Q _{2}} \cdot \frac{R _{2}^{2}}{R _{1}^{2}} = \frac{R _{2}}{R _{1}}$ .

La teoria continua con 6 altri paragrafi (capacità di un conduttore e condensatori, condensatore piano sferico e cilindrico, condensatori in serie e in parallelo…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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