Teoria

Campo elettrico

Come si definisce il campo elettrico, come si calcola per cariche puntiformi, per il dipolo e per distribuzioni continue come il filo, l'anello, il disco e il piano, come lo descrivono le linee di campo e come si muove una carica in un campo uniforme.

In questa pagina

Definizione del campo elettrico
Campo di cariche puntiformi

Definizione del campo elettrico

In tutto l’argomento le cariche che producono il campo sono ferme nel vuoto, in un sistema di riferimento inerziale.

Campo elettrico

Si consideri un insieme di cariche ferme, dette cariche sorgenti, e si ponga nel punto $P$ una carica puntiforme $q_{0}$ , detta carica di prova, abbastanza piccola da non spostare le cariche sorgenti. Se $F$ è la forza che le cariche sorgenti esercitano su $q_{0}$ , il campo elettrico in $P$ è

E (P) = \frac{F}{q _{0}} .

Per la legge di Coulomb la forza è proporzionale a $q_{0}$ , quindi il rapporto non dipende dalla carica di prova e descrive una proprietà del punto $P$ . Il campo elettrico associa un vettore a ogni punto dello spazio, cioè è un campo vettoriale, per il quale si rimanda all’argomento sui campi vettoriali di Analisi 2. Si misura in $N/C$ , unità che coincide con il $V/m$ , come si vedrà nell’argomento sul potenziale elettrico.

Per esempio, se una carica di prova $q_{0} = 2, 0 nC$ subisce in $P$ una forza di modulo $6, 0 \cdot 1 0^{- 5} N$ , il campo in $P$ ha modulo $E = \frac{6 , 0 \cdot 1 0 ^{- 5}}{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}} N/C = 3, 0 \cdot 1 0^{4} N/C$ e ha la direzione e il verso della forza.

Forza su una carica posta nel campo

Noto il campo $E$ in un punto, la forza su una carica puntiforme $q$ posta in quel punto è

F = q E .

Se $q > 0$ la forza ha lo stesso verso del campo, se $q < 0$ ha verso opposto. Il campo divide quindi il problema in due parti: prima si calcola il campo prodotto dalle sorgenti, poi la forza su qualunque carica posta nel campo. Un elettrone in un campo di $3, 0 \cdot 1 0^{4} N/C$ subisce la forza di modulo $e E = 1, 60 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 3, 0 \cdot 1 0^{4} N = 4, 8 \cdot 1 0^{- 15} N$ , opposta al campo.

Campo di cariche puntiformi

1. Campo di una carica puntiforme

Il campo prodotto da una carica puntiforme $q$ ferma nel vuoto, in un punto $P$ a distanza $r$ dalla carica, è

E = k \frac{q}{r ^{2}} \overset{r}{^} = \frac{1}{4 π ε _{0}} \frac{q}{r ^{2}} \overset{r}{^},

dove $\overset{r}{^}$ è il versore diretto dalla carica verso $P$ . Il campo ha modulo $E = k \frac{∣ q ∣}{r ^{2}}$ ed è radiale, uscente dalla carica se $q > 0$ ed entrante se $q < 0$ . Poiché il modulo è inversamente proporzionale al quadrato della distanza, raddoppiando la distanza il campo diventa quattro volte più debole. A $10 cm$ da una carica di $5, 0 nC$ si ha $E = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 5 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 1 0 ^{2}} N/C \approx 4, 5 \cdot 1 0^{3} N/C$ .

Campo di una carica puntiforme positiva: i vettori sono uscenti e, alla distanza doppia, la loro lunghezza diventa un quarto

Dimostrazione

Si pone in $P$ una carica di prova $q_{0}$ . Per la legge di Coulomb la forza che $q$ esercita su $q_{0}$ è $F = k \frac{q q _{0}}{r ^{2}} \overset{r}{^}$ , con $\overset{r}{^}$ diretto da $q$ verso $q_{0}$ ; il verso è corretto per ogni combinazione di segni, perché il prodotto $q q_{0}$ è positivo tra cariche concordi, che si respingono, e negativo tra cariche discordi, che si attraggono. Dividendo per $q_{0}$ , per la definizione di campo elettrico si ottiene la tesi.

2. Principio di sovrapposizione per il campo elettrico

Il campo prodotto in un punto $P$ dalle cariche puntiformi $q_{1}, \dots, q_{n}$ è la somma vettoriale dei campi che ciascuna carica produrrebbe da sola:

E (P) = i = 1 \sum n k \frac{q _{i}}{r _{i}^{2}} \overset{r}{^}_{i},

dove $r_{i}$ è la distanza di $P$ da $q_{i}$ e $\overset{r}{^}_{i}$ il versore diretto da $q_{i}$ verso $P$ . Il principio segue dal principio di sovrapposizione delle forze elettriche, che è una legge sperimentale, dividendo la forza totale sulla carica di prova per $q_{0}$ . Nei calcoli si scrive ogni campo in componenti cartesiane, si sommano le componenti e solo alla fine si ricavano il modulo e la direzione del campo risultante.

Campo di due cariche opposte

Una carica $q = 4, 0 nC$ si trova in $A = (- 3, 0 cm, 0)$ e una carica $- q$ in $B = (3, 0 cm, 0)$ . Il punto $P = (0, 4, 0 cm)$ dista $5, 0 cm$ da entrambe, quindi i due campi hanno lo stesso modulo

E_{1} = E_{2} = \frac{8 , 99 \cdot 1 0 ^{9} \cdot 4 , 0 \cdot 1 0 ^{- 9}}{0 , 05 0 ^{2}} N/C \approx 1, 44 \cdot 1 0^{4} N/C .

Il campo $E_{1}$ è uscente da $A$ e ha la direzione del versore $(\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ; il campo $E_{2}$ è diretto verso $B$ , con versore $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$ . Le componenti $y$ si annullano e le componenti $x$ si sommano, perciò

E = 2 E_{1} \cdot \frac{3}{5} \overset{}{^} \approx 1, 7 \cdot 1 0^{4} N/C \overset{}{^},

cioè il campo in $P$ è parallelo alla congiungente $A B$ e rivolto verso la carica negativa.

Il campo

E_{1}

della carica positiva è uscente, il campo

E_{2}

della carica negativa è entrante; la somma

E

è parallela alla congiungente delle cariche

Attenzione

I moduli dei campi in generale non si sommano. Nell’esempio precedente $E_{1} + E_{2} \approx 2, 9 \cdot 1 0^{4} N/C$ , mentre il campo risultante ha modulo $1, 7 \cdot 1 0^{4} N/C$ , perché i due vettori formano un angolo e le loro componenti $y$ si cancellano. La somma dei moduli dà il modulo del campo risultante solo quando i campi sono paralleli e concordi.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (linee di campo, dipolo elettrico, distribuzioni continue di carica…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

Sblocca ora