Teoria

Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche

Come la corrente di spostamento completa la legge di Ampère, quali sono le quattro equazioni di Maxwell, perché da esse seguono onde che si propagano alla velocità della luce, e quanta energia e quantità di moto queste onde trasportano.

In questa pagina

Corrente di spostamento
Legge di Ampère-Maxwell

Corrente di spostamento

In tutto l’argomento i campi sono nel vuoto, salvo dove è detto esplicitamente, e le intensità di corrente si indicano con la lettera minuscola $i$ , perché la lettera $I$ indica l’intensità di un’onda.

Legge di Ampère e condensatore in carica

Si consideri un condensatore piano che si carica attraverso un filo percorso dalla corrente $i$ , e una linea chiusa $γ$ che circonda il filo. La superficie piana $S_{1}$ è attraversata dal filo, quindi la corrente che la attraversa vale $i$ . La superficie $S_{2}$ , che ha lo stesso bordo, passa tra le armature, dove non ci sono cariche in moto, quindi la corrente che la attraversa è nulla. La legge di Ampère darebbe perciò due valori diversi per la stessa circuitazione $\oint_{γ} B \cdot d l$ , e nella forma del richiamo vale solo per correnti stazionarie.

Tra le armature c’è però un campo elettrico che cresce mentre il condensatore si carica, e il suo flusso attraverso $S_{2}$ varia nel tempo. Maxwell aggiunse alla legge di Ampère un termine proporzionale alla rapidità di variazione di quel flusso.

Condensatore in carica: la superficie piana

S_{1}

è attraversata dalla corrente

i

, la superficie

S_{2}

con lo stesso bordo

γ

passa tra le armature, dove scorre solo la corrente di spostamento

Sia $S$ una superficie orientata e sia $Φ_{E} = \iint_{S} E \cdot \overset{n}{^} d A$ il flusso del campo elettrico attraverso di essa. La corrente di spostamento attraverso $S$ è

i_{s} = ε_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t} .

Si misura in ampere, come una corrente di conduzione, perché il prodotto $ε_{0} Φ_{E}$ si misura in $C^{2} / (N \cdot m^{2}) \cdot N \cdot m^{2} /C = C$ . La corrente di spostamento non corrisponde a un moto di cariche. Per esempio, se il campo uniforme tra le armature di un condensatore di area $A = 0, 010 m^{2}$ cresce con rapidità $\frac{d E}{d t} = 1, 0 \cdot 1 0^{12} V/ (m \cdot s)$ , la corrente di spostamento è $i_{s} = ε_{0} A \frac{d E}{d t} = 8, 85 \cdot 1 0^{- 12} \cdot 0, 010 \cdot 1, 0 \cdot 1 0^{12} A \approx 0, 089 A$ .

Corrente di spostamento in un condensatore piano

Si consideri un condensatore piano nel vuoto, con armature di area $A$ , collegato a un circuito in cui scorre la corrente $i = \frac{d q}{d t}$ , dove $q$ è la carica dell’armatura positiva, e si trascurino gli effetti di bordo. Allora la corrente di spostamento attraverso una superficie che passa tra le armature, parallela a esse, è uguale alla corrente di conduzione nei fili:

i_{s} = i .

La corrente di spostamento prosegue quindi tra le armature la corrente di conduzione, che sulle armature si interrompe. Perciò le superfici $S_{1}$ e $S_{2}$ , che hanno lo stesso bordo $γ$ , danno la stessa corrente concatenata. Un condensatore che si carica con $i = 2, 0 A$ è attraversato da una corrente di spostamento di $2, 0 A$ , qualunque siano l’area delle armature e la loro distanza.

Dimostrazione

Trascurando gli effetti di bordo, tra le armature il campo è uniforme, perpendicolare alle armature, di modulo $E = \frac{σ}{ε _{0}} = \frac{q}{ε _{0} A}$ , mentre all’esterno è nullo. Il flusso attraverso la superficie, orientata dall’armatura positiva verso la negativa, è perciò

Φ_{E} = E A = \frac{q}{ε _{0}} .

Derivando rispetto al tempo si ottiene $i_{s} = ε_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t} = \frac{d q}{d t} = i$ .

Legge di Ampère-Maxwell

Per ogni linea chiusa orientata $γ$ e per ogni superficie $S$ che ha $γ$ come bordo, orientata con la regola della mano destra,

\oint_{γ} B \cdot d l = μ_{0} i_{conc} + μ_{0} ε_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t} = μ_{0} (i_{conc} + i_{s}),

dove $i_{conc}$ è la corrente di conduzione che attraversa $S$ e $Φ_{E}$ è il flusso del campo elettrico attraverso $S$ . È un postulato, introdotto da Maxwell per rendere la legge di Ampère coerente con la conservazione della carica e confermato dalla scoperta sperimentale delle onde elettromagnetiche.

La legge afferma che il campo magnetico è generato sia dalle correnti sia dai campi elettrici che variano nel tempo. In regime stazionario il flusso $Φ_{E}$ è costante e si ritrova la legge di Ampère. Per esempio, se un condensatore si carica con $i = 2, 0 A$ , la circuitazione di $B$ lungo una linea che circonda il filo vale $μ_{0} i \approx 2, 5 \cdot 1 0^{- 6} T \cdot m$ anche con una superficie che passa tra le armature.

Campo magnetico tra le armature di un condensatore

Si consideri un condensatore piano nel vuoto con armature circolari di raggio $R$ , che si carica con corrente $i$ , e si trascurino gli effetti di bordo. Nella regione compresa tra i piani delle armature le linee del campo magnetico sono circonferenze coassiali con le armature, e alla distanza $r$ dall’asse il modulo del campo è

$B = \frac{μ _{0} i r}{2 π R ^{2}}$ per $0 \leq r \leq R$ ;
$B = \frac{μ _{0} i}{2 π r}$ per $r \geq R$ .

Il campo cresce linearmente con $r$ fino al bordo delle armature, dove raggiunge il valore massimo $\frac{μ _{0} i}{2 π R}$ , e all’esterno coincide con il campo di un filo rettilineo percorso dalla corrente $i$ . Con $R = 5, 0 cm$ e $i = 2, 0 A$ il campo massimo è $\frac{4 π \cdot 1 0 ^{- 7} \cdot 2 , 0}{2 π \cdot 0 , 050} T = 8, 0 μ T$ .

Vista dall'alto: tra le armature il campo

E

esce dal foglio e cresce; le linee del campo magnetico sono circonferenze coassiali percorse in verso antiorario, dentro e fuori dal bordo delle armature

Modulo del campo magnetico in funzione della distanza dall'asse, con

r

in unità di

R

B

in unità di

\frac{μ _{0} i}{2 π R}

: retta fino al bordo delle armature, poi andamento come

\frac{1}{r}

Dimostrazione

Il campo elettrico tra le armature è uniforme e vale $E = \frac{q}{ε _{0} π R ^{2}}$ , quindi $\frac{d E}{d t} = \frac{i}{ε _{0} π R ^{2}}$ . Per la simmetria di rotazione attorno all’asse, il campo magnetico è tangente alle circonferenze coassiali e ha modulo costante su ciascuna di esse. Si applica la legge di Ampère-Maxwell alla circonferenza $γ$ di raggio $r$ , in un piano parallelo alle armature e compreso tra esse, con la superficie uguale al cerchio delimitato da $γ$ . Il cerchio non è attraversato da correnti di conduzione, quindi

2 π r B = μ_{0} ε_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t} .

Se $r \leq R$ , il flusso è $Φ_{E} = E π r^{2}$ , perciò $2 π r B = μ_{0} ε_{0} π r^{2} \frac{i}{ε _{0} π R ^{2}} = μ_{0} i \frac{r ^{2}}{R ^{2}}$ , da cui la prima formula. Se $r \geq R$ , il campo elettrico è nullo fuori dalle armature, quindi $Φ_{E} = E π R^{2} = \frac{q}{ε _{0}}$ e $2 π r B = μ_{0} i$ , da cui la seconda.

La teoria continua con 7 altri paragrafi (equazioni di maxwell, forma locale delle equazioni di maxwell, equazione delle onde e velocità della luce…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

Sblocca ora