Esercizi svolti · Scheda 1

Correnti di spostamento nei condensatori

Teoria usata: Corrente di spostamento Corrente di spostamento in un condensatore piano Legge di Ampère-Maxwell Equazioni di Maxwell in forma locale

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Esercizio 1

Un condensatore piano nel vuoto ha armature di area $A = 2, 0 \cdot 1 0^{- 2} m^{2}$ . Durante la carica il campo elettrico uniforme tra le armature cresce con rapidità costante $\frac{d E}{d t} = 3, 0 \cdot 1 0^{12} V/ (m \cdot s)$ . Trascurando gli effetti di bordo, calcolare la rapidità di variazione del flusso del campo elettrico attraverso una superficie parallela alle armature e compresa tra esse, la corrente di spostamento e l’intensità della corrente nei fili di collegamento.

Φ_{E} = E A, \frac{d Φ _{E}}{d t} = A \frac{d E}{d t}, i_{s} = ε_{0} \frac{d Φ _{E}}{d t} = ε_{0} A \frac{d E}{d t}, i = i_{s}

\frac{d Φ _{E}}{d t} i_{s} i = 2, 0 \cdot 1 0^{- 2} \cdot 3, 0 \cdot 1 0^{12} V \cdot m/s = 6, 0 \cdot 1 0^{10} V \cdot m/s = 8, 85 \cdot 1 0^{- 12} \cdot 6, 0 \cdot 1 0^{10} A \approx 0, 53 A = i_{s} \approx 0, 53 A

Gli effetti di bordo sono trascurabili, quindi tra le armature il campo è uniforme e perpendicolare alla superficie, mentre fuori dalle armature è nullo; perciò il flusso è il prodotto $E A$ , e poiché l’area è costante la sua derivata è $A \frac{d E}{d t}$ . Per la definizione di corrente di spostamento si moltiplica questa derivata per $ε_{0}$ , e si ottiene circa $0, 53 A$ . Per il teorema sulla corrente di spostamento in un condensatore piano, questa corrente è uguale alla corrente di conduzione che carica le armature, quindi nei fili scorre una corrente di 0,53 A.

Controllo delle unità: $C^{2} / (N \cdot m^{2}) \cdot V \cdot m/s = C^{2} \cdot V/ (N \cdot m \cdot s)$ , e poiché $1 V = 1 N \cdot m/C$ il risultato si riduce a $C/s = A$ .

Esercizio 2

Un condensatore piano in aria, con armature di area $A = 0, 050 m^{2}$ poste alla distanza $d = 2, 0 mm$ , è collegato a un generatore che fa crescere la differenza di potenziale tra le armature con rapidità $\frac{d V}{d t} = 1, 5 \cdot 1 0^{6} V/s$ . Considerando l’aria equivalente al vuoto e trascurando gli effetti di bordo, calcolare la capacità del condensatore, la rapidità di variazione del campo elettrico tra le armature e la corrente di spostamento, e verificare che coincide con la corrente di carica.

C = \frac{ε _{0} A}{d}, E = \frac{V}{d} ⟹ \frac{d E}{d t} = \frac{1}{d} \frac{d V}{d t}

i_{s} = ε_{0} A \frac{d E}{d t} = \frac{ε _{0} A}{d} \frac{d V}{d t} = C \frac{d V}{d t}, i = \frac{d q}{d t} = C \frac{d V}{d t}

C \frac{d E}{d t} i_{s} = \frac{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12} \cdot 0 , 050}{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} F \approx 2, 2 \cdot 1 0^{- 10} F = \frac{1 , 5 \cdot 1 0 ^{6}}{2 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} V/ (m \cdot s) = 7, 5 \cdot 1 0^{8} V/ (m \cdot s) = 2, 21 \cdot 1 0^{- 10} \cdot 1, 5 \cdot 1 0^{6} A \approx 3, 3 \cdot 1 0^{- 4} A

La capacità del condensatore piano è $\frac{ε _{0} A}{d}$ , circa $220 pF$ . Tra le armature il campo è uniforme, quindi è legato alla differenza di potenziale da $E = \frac{V}{d}$ ; poiché la distanza è costante, la rapidità di variazione del campo è quella della tensione divisa per $d$ .

Per la definizione di corrente di spostamento, con il flusso $E A$ , si ha $i_{s} = ε_{0} A \frac{d E}{d t}$ , e sostituendo $\frac{d E}{d t}$ compare il prodotto $\frac{ε _{0} A}{d} \frac{d V}{d t} = C \frac{d V}{d t}$ . D’altra parte la carica dell’armatura positiva è $q = C V$ , quindi la corrente di carica è $\frac{d q}{d t} = C \frac{d V}{d t}$ . Le due correnti sono uguali, circa $0, 33 mA$ , come afferma il teorema sulla corrente di spostamento in un condensatore piano.

Esercizio 3

Un condensatore piano nel vuoto ha armature circolari di raggio $R = 5, 0 cm$ alla distanza $d = 1, 0 mm$ , e tra le armature è applicata la tensione alternata $v (t) = V_{0} sin (ω t)$ , con $V_{0} = 50 V$ e frequenza $f = 1, 0 kHz$ . Trascurando gli effetti di bordo, calcolare l’ampiezza della corrente di spostamento, l’ampiezza della densità di corrente di spostamento $ε_{0} \frac{\partial E}{\partial t}$ e lo sfasamento della corrente di spostamento rispetto alla tensione.

E (t) = \frac{v ( t )}{d} = \frac{V _{0}}{d} sin (ω t) ⟹ \frac{d E}{d t} = \frac{V _{0} ω}{d} cos (ω t)

i_{s} (t) = ε_{0} π R^{2} \frac{d E}{d t} = \frac{ε _{0} π R ^{2} V _{0} ω}{d} cos (ω t) = \frac{ε _{0} π R ^{2} V _{0} ω}{d} sin (ω t + \frac{π}{2})

i_{s, 0} = \frac{ε _{0} π R ^{2} V _{0} ω}{d}, J_{s, 0} = \frac{i _{s, 0}}{π R ^{2}} = \frac{ε _{0} V _{0} ω}{d}

ω J_{s, 0} i_{s, 0} = 2 π \cdot 1, 0 \cdot 1 0^{3} rad/s \approx 6, 28 \cdot 1 0^{3} rad/s = \frac{8 , 85 \cdot 1 0 ^{- 12} \cdot 50 \cdot 6 , 28 \cdot 1 0 ^{3}}{1 , 0 \cdot 1 0 ^{- 3}} A/ m^{2} \approx 2, 8 \cdot 1 0^{- 3} A/ m^{2} = 2, 78 \cdot 1 0^{- 3} \cdot π \cdot 0, 05 0^{2} A \approx 2, 2 \cdot 1 0^{- 5} A

v(t)

i_s(t)

Tensione

v (t)

e corrente di spostamento

i_{s} (t)

, ciascuna in unità della propria ampiezza, in funzione di

ω t

: la corrente di spostamento raggiunge il massimo un quarto di periodo prima della tensione

La frequenza è $1 kHz$ , quindi la lunghezza d’onda corrispondente, $\frac{c}{f} = 300 km$ , è enormemente maggiore delle dimensioni del condensatore; perciò in ogni istante il campo tra le armature si può calcolare come in elettrostatica, $E = \frac{v}{d}$ , uniforme. La derivata di $sin (ω t)$ è $ω cos (ω t)$ , e per la definizione di corrente di spostamento, con il flusso $E π R^{2}$ , si ottiene una corrente proporzionale a $cos (ω t)$ , la cui ampiezza è il coefficiente del coseno, circa $22 μ A$ .

La densità di corrente di spostamento è uniforme tra le armature, perché lo è il campo, quindi la sua ampiezza è l’ampiezza della corrente divisa per l’area $π R^{2}$ ; il risultato non dipende dal raggio delle armature. Poiché $cos (ω t) = sin (ω t + \frac{π}{2})$ , la corrente di spostamento è in anticipo di un quarto di periodo sulla tensione, cioè di $0, 25 ms$ , come mostra il grafico. È lo stesso sfasamento della corrente di conduzione in un condensatore alimentato in alternata, coerentemente con il fatto che le due correnti sono uguali.