Teoria

Potenziale elettrico ed energia elettrostatica

Perché il campo elettrostatico è conservativo, come si definiscono l'energia potenziale e il potenziale, come si calcola il potenziale di cariche puntiformi e di distribuzioni continue, come si ricava il campo dal potenziale e come la conservazione dell'energia descrive il moto delle cariche.

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Lavoro della forza elettrica
Campo elettrostatico conservativo

Lavoro della forza elettrica

In tutto l’argomento le cariche sorgenti sono ferme in un sistema di riferimento inerziale, e il campo che producono si dice elettrostatico.

Una carica di prova $q_{0}$ si muove lungo una curva $γ$ da $A$ a $B$ in un campo elettrostatico $E$ , e su di essa agisce la forza $F = q_{0} E$ . Il lavoro della forza elettrica è

W_{A \to B} = \int_{γ} q_{0} E \cdot d ℓ = q_{0} \int_{γ} E \cdot d ℓ .

In questa materia il lavoro si indica con $W$ , perché la lettera $L$ è riservata all’induttanza. Il lavoro è proporzionale a $q_{0}$ , quindi il rapporto $\frac{W _{A \to B}}{q _{0}}$ dipende solo dal campo e dalla curva. In un campo uniforme e lungo un segmento $s$ la definizione si riduce a $W = q_{0} E \cdot s$ ; per esempio, un protone che si sposta di $2, 0 cm$ nel verso di un campo uniforme di $5, 0 \cdot 1 0^{3} N/C$ riceve il lavoro $1, 60 \cdot 1 0^{- 19} \cdot 5, 0 \cdot 1 0^{3} \cdot 0, 020 J = 1, 6 \cdot 1 0^{- 17} J$ .

Lavoro nel campo di una carica puntiforme

Sia $Q$ una carica puntiforme ferma e sia $q_{0}$ una carica di prova che va da un punto $A$ , a distanza $r_{A}$ da $Q$ , a un punto $B$ , a distanza $r_{B}$ , lungo una curva qualsiasi. Il lavoro della forza elettrica è

W_{A \to B} = k Q q_{0} (\frac{1}{r _{A}} - \frac{1}{r _{B}}) .

Il lavoro dipende solo dalle distanze iniziale e finale, quindi è lo stesso per tutte le curve che congiungono $A$ e $B$ . Se le cariche sono concordi e $q_{0}$ si allontana da $Q$ , il lavoro è positivo, perché la forza repulsiva ha la componente radiale concorde con lo spostamento. Per esempio, con $Q = 4, 0 nC$ , $q_{0} = 1, 0 nC$ , $r_{A} = 2, 0 cm$ e $r_{B} = 6, 0 cm$ si ottiene $W = 8, 99 \cdot 1 0^{9} \cdot 4, 0 \cdot 1 0^{- 18} \cdot (50 - 16, 7) J \approx 1, 2 \cdot 1 0^{- 6} J$ .

Due curve da

A

B

nel campo di

Q

: lungo

γ_{2}

il tratto radiale dà tutto il lavoro e l'arco di circonferenza non ne dà, e lungo

γ_{1}

si ottiene lo stesso lavoro

Dimostrazione

Il campo di $Q$ è $E = \frac{k Q}{r ^{2}} \overset{r}{^}$ , come si vede nell’argomento sul campo elettrico. Uno spostamento infinitesimo $d ℓ$ lungo la curva si scompone in una parte lungo $\overset{r}{^}$ , di lunghezza con segno $d r$ , e in una parte perpendicolare a $\overset{r}{^}$ . Il campo è radiale, quindi la parte perpendicolare non dà contributo e $E \cdot d ℓ = \frac{k Q}{r ^{2}} d r$ . Perciò

W_{A \to B} = q_{0} \int_{r_{A}}^{r_{B}} \frac{k Q}{r ^{2}} d r = k Q q_{0} [- \frac{1}{r}]_{r_{A}}^{r_{B}} = k Q q_{0} (\frac{1}{r _{A}} - \frac{1}{r _{B}}) .

Il risultato contiene solo $r_{A}$ e $r_{B}$ , quindi non dipende dalla curva.

Campo elettrostatico conservativo

Circuitazione del campo elettrostatico

Il campo elettrostatico $E$ prodotto da un qualsiasi sistema di cariche ferme è conservativo: il lavoro della forza elettrica su una carica di prova tra due punti $A$ e $B$ è lo stesso per tutte le curve che li congiungono. In modo equivalente, la circuitazione di $E$ lungo ogni curva chiusa $γ$ è nulla,

\oint_{γ} E \cdot d ℓ = 0.

Su questa proprietà si fondano l’energia potenziale elettrica e il potenziale. Una carica che percorre una curva chiusa e torna al punto di partenza riceve dal campo elettrostatico un lavoro totale nullo; per questo, per far circolare una corrente in un circuito chiuso, serve un generatore, come si vede nell’argomento sulla corrente elettrica e i circuiti in corrente continua.

Dimostrazione

Per una sola carica puntiforme si applica il lavoro nel campo di una carica puntiforme. Su una curva chiusa il punto iniziale e il punto finale coincidono, quindi $r_{A} = r_{B}$ e il lavoro è nullo. Per un sistema di cariche $Q_{1}, \dots, Q_{n}$ il campo è la somma dei campi $E_{i}$ delle singole cariche, per il principio di sovrapposizione, e l’integrale di linea è lineare, perciò

\oint_{γ} E \cdot d ℓ = i = 1 \sum n \oint_{γ} E_{i} \cdot d ℓ = 0.

Per una distribuzione continua il ragionamento è lo stesso, con un integrale sulla carica al posto della somma. Infine, se $γ_{1}$ e $γ_{2}$ sono due curve da $A$ a $B$ , la curva chiusa formata da $γ_{1}$ e da $γ_{2}$ percorsa al contrario ha circuitazione nulla; quindi gli integrali di $E$ lungo $γ_{1}$ e lungo $γ_{2}$ sono uguali.

Forma locale della circuitazione nulla

Per il teorema di Stokes la circuitazione di $E$ lungo il bordo di una superficie è il flusso del rotore di $E$ attraverso la superficie. La circuitazione è nulla lungo ogni curva chiusa, quindi il flusso del rotore è nullo attraverso ogni superficie, e perciò

\nabla \times E = 0

in ogni punto. La relazione vale per i campi prodotti da cariche ferme. In presenza di campi magnetici variabili nel tempo la circuitazione del campo elettrico è diversa da zero, e si rimanda all’argomento sull’induzione elettromagnetica.

La teoria continua con 8 altri paragrafi (energia potenziale elettrica, potenziale elettrico e differenza di potenziale, potenziale di cariche puntiformi…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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