Teoria

Ottica geometrica e ondulatoria

Come la luce si riflette e si rifrange secondo le leggi di Snell, come specchi e lenti sottili formano le immagini, e come interferenza, diffrazione e polarizzazione rivelano la natura ondulatoria della luce.

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Luce, raggi e indice di rifrazione
Riflessione e rifrazione

Luce, raggi e indice di rifrazione

1. Raggio luminoso e ottica geometrica

Un raggio luminoso è una linea orientata, perpendicolare in ogni punto ai fronti d’onda, cioè alle superfici di fase costante, che indica la direzione di propagazione; in un mezzo omogeneo i raggi sono rettilinei. L’ottica geometrica descrive la luce solo per mezzo dei raggi, ed è un’approssimazione valida quando aperture e ostacoli hanno dimensioni molto maggiori della lunghezza d’onda. Quando le dimensioni sono confrontabili con $λ$ , come per fenditure larghe qualche decimo di millimetro, compaiono interferenza e diffrazione, che sono l’oggetto dell’ottica ondulatoria.

2. Indice di rifrazione

In un mezzo trasparente omogeneo la luce si propaga con una velocità $v$ minore di $c$ . L’indice di rifrazione del mezzo è il numero puro

n = \frac{c}{v} \geq 1.

Il vuoto ha $n = 1$ , l’aria $n \approx 1, 0003$ , che nei problemi si approssima con $1, 00$ , l’acqua $n = 1, 33$ , il vetro comune $n \approx 1, 5$ , il diamante $n = 2, 42$ . Fra due mezzi si dice più rifrangente quello con indice maggiore. In acqua, per esempio, $v = \frac{c}{1 , 33} \approx 2, 26 \cdot 1 0^{8} m/s$ .

3. Frequenza e lunghezza d'onda in un mezzo

Quando la luce passa da un mezzo a un altro la frequenza $ν$ resta la stessa, perché è imposta dalla sorgente e i campi sui due lati della superficie di separazione oscillano allo stesso ritmo. In un mezzo di indice $n$ la lunghezza d’onda è quindi

λ_{n} = \frac{v}{ν} = \frac{c}{n ν} = \frac{λ}{n},

dove $λ$ è la lunghezza d’onda nel vuoto. Una luce di $600 nm$ nel vuoto ha in acqua $λ_{n} = \frac{600}{1 , 33} nm \approx 451 nm$ .

Riflessione e rifrazione

Quando un raggio incide sulla superficie di separazione tra due mezzi trasparenti, una parte della luce torna nel primo mezzo e una parte entra nel secondo cambiando direzione. Gli angoli si misurano dalla normale alla superficie nel punto di incidenza, e il piano di incidenza è il piano che contiene il raggio incidente e la normale.

1. Legge della riflessione

È una legge sperimentale. Il raggio riflesso giace nel piano di incidenza, dalla parte opposta della normale rispetto al raggio incidente, e l’angolo di riflessione è uguale all’angolo di incidenza:

θ_{1}^{'} = θ_{1} .

La legge vale per ogni superficie riflettente, piana o curva, ed è la base della teoria degli specchi.

2. Legge di Snell

È una legge sperimentale. Un raggio che passa da un mezzo di indice $n_{1}$ a un mezzo di indice $n_{2}$ viene rifratto nel piano di incidenza, dalla parte opposta della normale, e l’angolo di incidenza $θ_{1}$ e l’angolo di rifrazione $θ_{2}$ soddisfano

n_{1} sin θ_{1} = n_{2} sin θ_{2} .

Insieme alla legge della riflessione costituisce le leggi di Snell, e permette di calcolare la direzione del raggio rifratto. Un raggio che passa dall’aria al vetro con $n_{2} = 1, 50$ e $θ_{1} = 4 5^{\circ}$ ha $sin θ_{2} = \frac{sin 4 5 ^{\circ}}{1 , 50} \approx 0, 471$ , quindi $θ_{2} \approx 28, 1^{\circ}$ .

Raggio incidente, riflesso e rifratto: gli angoli si misurano dalla normale tratteggiata; con

n_{2} > n_{1}

il raggio rifratto si avvicina alla normale

Verso della deviazione

Dalla legge di Snell, $sin θ_{2} = \frac{n _{1}}{n _{2}} sin θ_{1}$ , e il seno è crescente tra $0$ e $\frac{π}{2}$ .

Se $n_{2} > n_{1}$ , allora $θ_{2} < θ_{1}$ : il raggio che entra in un mezzo più rifrangente si avvicina alla normale.
Se $n_{2} < n_{1}$ , allora $θ_{2} > θ_{1}$ : il raggio si allontana dalla normale.
Se $θ_{1} = 0$ , allora $θ_{2} = 0$ : il raggio perpendicolare alla superficie non devia.

Attraverso strati a facce parallele la grandezza $n sin θ$ si conserva a ogni superficie, quindi l’angolo nell’ultimo mezzo dipende solo dagli indici del primo e dell’ultimo.

Dispersione della luce

L’indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d’onda; nel vetro e nell’acqua decresce al crescere di $λ$ , quindi la luce violetta è deviata più della rossa. Per questa dispersione un prisma separa la luce bianca nei colori. Nei problemi in cui l’indice è dato come un solo numero la dispersione si trascura.

3. Lamina a facce parallele

Si consideri una lamina trasparente di spessore $t$ e indice $n$ , con due facce piane parallele, immersa in aria, e un raggio che incide sulla prima faccia con angolo $θ_{1}$ . Allora il raggio emerge parallelo al raggio incidente, spostato lateralmente della distanza

d = \frac{t sin ( θ _{1} - θ _{2} )}{cos θ _{2}}, sin θ_{2} = \frac{sin θ _{1}}{n} .

Per questo un vetro di finestra non altera la direzione da cui si vedono gli oggetti. Con $t = 1, 0 cm$ , $n = 1, 50$ e $θ_{1} = 4 5^{\circ}$ si ha $θ_{2} \approx 28, 1^{\circ}$ e $d \approx 0, 33 cm$ .

Dimostrazione

Le due facce hanno normali parallele, quindi il raggio interno incide sulla seconda faccia con lo stesso angolo $θ_{2}$ con cui si è rifratto nella prima. La legge di Snell alle due facce dà $sin θ_{1} = n sin θ_{2} = sin θ_{3}$ , perciò $θ_{3} = θ_{1}$ e il raggio emergente è parallelo a quello incidente.

Siano $A$ e $B$ i punti di ingresso e di uscita. Il segmento $A B$ forma con la normale l’angolo $θ_{2}$ e attraversa lo spessore $t$ , quindi $A B = \frac{t}{cos θ _{2}}$ . Lo spostamento $d$ è la distanza di $B$ dal prolungamento del raggio incidente, che passa per $A$ e forma con $A B$ l’angolo $θ_{1} - θ_{2}$ ; perciò $d = A B sin (θ_{1} - θ_{2})$ .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (riflessione totale, specchi piani e sferici, lenti sottili…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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