Continuity and asymptotes

Stabilisci se la funzione

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1& \text{se }x\le 2\\ 2x-1& \text{se }x>2\end{array}$$

è continua nel punto $x_0=2$.

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Stabilisci se la funzione

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{e^{2x}-1}{x}& \text{se }x\ne 0\\ 2& \text{se }x=0\end{array}$$

è continua nel punto $x_0=0$.

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Determina e classifica i punti di discontinuità della funzione $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-3x}$.

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Classifica il punto di discontinuità della funzione $f(x)=\frac{x^2+x}{|x|}$ e, se è di prima specie, calcola il salto.

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Classifica il punto di discontinuità della funzione $f(x)=\arctan \frac{1}{x}$ e calcola il salto.

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Stabilisci se alla funzione $f(x)=\frac{1}{x-2}$ si applica il teorema di Weierstrass nell’intervallo $[0,1]$, e determina il massimo e il minimo di $f$ in questo intervallo.

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Determina gli asintoti della funzione $f(x)=\frac{3x-2}{x+1}$.

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Determina gli asintoti della funzione $f(x)=\frac{x}{x^2-x-2}$.

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Determina gli asintoti della funzione $f(x)=\frac{2x^2-x+3}{x-2}$.

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Determina gli asintoti della funzione $f(x)=\sqrt{x^2-2x+5}$.

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Determina il valore del parametro reale $k$ per il quale la funzione

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2kx+1& \text{se }x<1\\ k{x}^2-3& \text{se }x\ge 1\end{array}$$

è continua su $\mathbb{R}$.

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Determina i valori dei parametri reali $a$ e $b$ per i quali la funzione

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+a& \text{se }x<0\\ b\cos x& \text{se }0\le x\le \pi \\ x-\pi +2& \text{se }x>\pi \end{array}$$

è continua su $\mathbb{R}$.

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Dimostra che l’equazione $x^5+x-1=0$ ha una e una sola soluzione reale, compresa tra $0$ e $1$. Esegui due passi del metodo di bisezione a partire dall’intervallo $[0,1]$.

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Approssima $\sqrt{7}$ con tre passi del metodo di bisezione applicato alla funzione $f(x)=x^2-7$ nell’intervallo $[2,3]$. Determina poi quanti passi servono perché l’ampiezza dell’intervallo sia minore di $0,001$.

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