Analytic geometry in space

Dati i punti $A(2,-1,4)$ e $B(-2,1,0)$, calcola la lunghezza del segmento $AB$ e le coordinate del suo punto medio.

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Calcola l’angolo tra i vettori $\vec{u}=(1,1,0)$ e $\vec{v}=(-1,0,1)$.

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Calcola l’area del triangolo di vertici $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$ e $C(0,0,2)$.

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Determina il valore di $k$ per cui i vettori $\vec{u}=(k,1,3)$ e $\vec{v}=(2,k,-1)$ sono perpendicolari.

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Scrivi l’equazione del piano che passa per i punti $A(1,1,1)$, $B(2,0,1)$ e $C(1,2,3)$.

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Scrivi l’equazione del piano che passa per $P(2,-1,0)$ ed è perpendicolare alla retta $x=1+3t$, $y=2t$, $z=-t$.

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Scrivi le equazioni parametriche della retta

$$\{\begin{array}{l}x+y+z-3=0\\ x-y-1=0\end{array}$$

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Determina il punto di intersezione della retta $r:x=2-t$, $y=1+2t$, $z=3t$ con il piano $x+y+z-7=0$.

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Stabilisci la posizione reciproca delle rette

$$r:x=1+t,y=t,z=2-t\text{e}s:x=1+s,y=s,z=-1+2s.$$

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Stabilisci la posizione reciproca delle rette

$$r:x=t,y=1,z=2t\text{e}s:x=1,y=s,z=3+s.$$

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Dati il punto $P(3,1,0)$ e il piano $\pi :2x-2y+z+5=0$, calcola la distanza di $P$ da $\pi$, la proiezione ortogonale $H$ di $P$ su $\pi$ e il simmetrico $P^{\prime }$ di $P$ rispetto a $\pi$.

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Calcola la distanza del punto $P(0,2,3)$ dalla retta $r:x=t$, $y=t$, $z=0$.

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Scrivi l’equazione della superficie sferica di centro $C(1,-2,2)$ tangente al piano $x+2y-2z-2=0$ e determina il punto di tangenza.

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Verifica che il piano $z=6$ interseca la superficie sferica $x^2+y^2+z^2-2x-4z-20=0$ lungo una circonferenza, e determinane il centro e il raggio.

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