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Theory

Teoremi del calcolo differenziale

Che cosa affermano i teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy e qual è il loro significato geometrico, come dal teorema di Lagrange si ricavano il criterio di monotonia e le proprietà delle funzioni con derivata nulla, e come si calcolano i limiti nelle forme indeterminate con il teorema di De L'Hôpital.

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Teorema di Fermat
Teorema di Rolle

Teorema di Fermat

Massimi e minimi relativi

Sia $f$ definita in un intervallo $I$ e sia $x_0$ un punto di $I$ . Il punto $x_0$ è un punto di massimo relativo di $f$ se esiste un intorno $I(x_0)$ tale che

f(x) \leq f(x_0) \qquad \text{per ogni } x \text{ di } I(x_0) \text{ che appartiene a } I .

Con la disuguaglianza $f(x) \geq f(x_0)$ si definisce il punto di minimo relativo. In altre parole, il valore $f(x_0)$ si confronta soltanto con i valori di $f$ nei punti vicini a $x_0$ . Per $f(x) = x^3 - 3x$ si ha $f(-1) = 2$ , e nei punti vicini a $-1$ la funzione assume valori minori di $2$ , quindi $x_0 = -1$ è un punto di massimo relativo. Il valore $2$ non è però il più grande valore di $f$ , perché per esempio $f(3) = 18$ . I massimi e i minimi relativi e assoluti si studiano in dettaglio nell’argomento su massimi, minimi, flessi e studio di funzione; qui servono per enunciare il teorema di Fermat.

Sia $f$ definita in un intervallo $I$ e sia $x_0$ un punto interno a $I$ che è di massimo relativo o di minimo relativo per $f$ . Se $f$ è derivabile in $x_0$ , allora

f'(x_0) = 0 .

Un punto in cui la derivata si annulla si chiama punto stazionario. Il significato geometrico del teorema è che in un massimo o in un minimo relativo interno, se esiste la retta tangente, questa è orizzontale. Per $f(x) = x^3 - 3x$ si ha $f'(x) = 3x^2 - 3$ , e infatti nel massimo relativo $x = -1$ e nel minimo relativo $x = 1$ la derivata vale $3 - 3 = 0$ . Il teorema serve a cercare i massimi e i minimi di una funzione derivabile, perché li restringe ai punti in cui $f'(x) = 0$ .

y = x^{3} - 3 x

Nel massimo relativo

(- 1, 2)

e nel minimo relativo

(1, - 2)

f (x) = x^{3} - 3 x

le rette tangenti, tratteggiate, sono orizzontali, perché

f^{'} (- 1) = f^{'} (1) = 0

Dimostrazione

L’idea è studiare il segno del rapporto incrementale a destra e a sinistra di $x_0$ . Si suppone che $x_0$ sia un punto di massimo relativo; il caso del minimo è analogo. Poiché $x_0$ è interno a $I$ , per $h$ abbastanza piccolo, positivo o negativo, il punto $x_0 + h$ appartiene all’intorno della definizione, quindi

f(x_0 + h) - f(x_0) \leq 0 .

Per $h > 0$ il rapporto incrementale $\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ ha numeratore $\leq 0$ e denominatore positivo, perciò è $\leq 0$ . Per la permanenza del segno il suo limite destro è $\leq 0$ , cioè $f'_+(x_0) \leq 0$ .

Per $h < 0$ il numeratore è ancora $\leq 0$ e il denominatore è negativo, perciò il rapporto incrementale è $\geq 0$ . Allo stesso modo il suo limite sinistro è $\geq 0$ , cioè $f'_-(x_0) \geq 0$ .

Poiché $f$ è derivabile in $x_0$ , la derivata destra e la derivata sinistra sono entrambe uguali a $f'(x_0)$ . Quindi $f'(x_0) \leq 0$ e $f'(x_0) \geq 0$ , e perciò $f'(x_0) = 0$ .

Attenzione

Un punto stazionario può non essere né di massimo né di minimo. La funzione $f(x) = x^3$ ha $f'(0) = 0$ , ma è crescente, perché $x_1 < x_2$ implica $x_1^3 < x_2^3$ ; quindi in $0$ non ha né un massimo né un minimo relativo. Anche l’ipotesi che $x_0$ sia interno è necessaria. La funzione $f(x) = x$ sull’intervallo $[0, 1]$ ha massimo nell’estremo $x_0 = 1$ , ma la sua derivata vale $1$ in ogni punto.

Teorema di Rolle

Sia $f$ una funzione tale che

\begin{cases} f \text{ è continua in } [a, b] \\ f \text{ è derivabile in } (a, b) \\ f(a) = f(b) \end{cases}

Allora esiste almeno un punto $c$ di $(a, b)$ tale che $f'(c) = 0$ .

Il significato geometrico è il seguente. Se i punti del grafico di ascissa $a$ e $b$ hanno la stessa ordinata, la retta che li congiunge è orizzontale, e in almeno un punto interno la tangente al grafico è anch’essa orizzontale. Per esempio $f(x) = x^2 - 4x + 3$ è un polinomio, quindi è continua e derivabile in $\mathbb{R}$ , e nell’intervallo $[0, 4]$ si ha $f(0) = f(4) = 3$ . Le ipotesi sono soddisfatte, e infatti $f'(x) = 2x - 4$ si annulla in $c = 2$ , che appartiene a $(0, 4)$ .

y = x^{2} - 4 x + 3

Per

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

si ha

f (0) = f (4) = 3

, quindi il segmento

A B

è orizzontale; nel punto

c = 2

anche la tangente è orizzontale

Dimostrazione

L’idea è mostrare che il massimo o il minimo di $f$ è assunto in un punto interno, e poi applicare il teorema di Fermat. Poiché $f$ è continua in $[a, b]$ , per il teorema di Weierstrass $f$ assume in $[a, b]$ un valore massimo $M$ e un valore minimo $m$ . Si distinguono due casi.

Se $M = m$ , il valore massimo e il valore minimo coincidono, quindi $f$ è costante in $[a, b]$ . Allora $f'(x) = 0$ per ogni $x$ di $(a, b)$ , e come $c$ si può scegliere un punto qualsiasi di $(a, b)$ .
Se $M \neq m$ , almeno uno dei due valori è diverso dal valore comune $f(a) = f(b)$ . Si supponga che sia $M$ ; il caso di $m$ è analogo. Allora $M$ è assunto in un punto $c$ che non è né $a$ né $b$ , cioè in un punto interno all’intervallo. Il punto $c$ è di massimo per $f$ in tutto $[a, b]$ , quindi è anche di massimo relativo. Inoltre $f$ è derivabile in $c$ , perché $c$ appartiene a $(a, b)$ . Per il teorema di Fermat si ha perciò $f'(c) = 0$ .

Attenzione

Se una delle ipotesi non è soddisfatta, il punto $c$ può non esistere. La funzione $f(x) = |x|$ nell’intervallo $[-1, 1]$ è continua e ha $f(-1) = f(1) = 1$ , ma non è derivabile in $0$ . La sua derivata vale $-1$ per $x < 0$ e $1$ per $x > 0$ , quindi non si annulla in alcun punto. Allo stesso modo la funzione che vale $x$ per $0 \leq x < 1$ e vale $0$ per $x = 1$ ha $f(0) = f(1) = 0$ ed è derivabile in $(0, 1)$ , ma non è continua in $1$ ; la sua derivata in $(0, 1)$ vale sempre $1$ .

Verifica delle ipotesi e ricerca dei punti

Si considera $f(x) = \sin x + \cos x$ nell’intervallo $\left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right]$ . La funzione è continua e derivabile in $\mathbb{R}$ , perché è somma di funzioni continue e derivabili. Inoltre

f(0) = 0 + 1 = 1 , \qquad f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 + 0 = 1 ,

quindi il teorema di Rolle si applica. La derivata è $f'(x) = \cos x - \sin x$ , e l’equazione $\cos x = \sin x$ ha in $\left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right)$ la sola soluzione $c = \dfrac{\pi}{4}$ , dove seno e coseno valgono entrambi $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

The theory continues with 6 more sections (teorema di lagrange, conseguenze del teorema di lagrange, teorema di cauchy…), plus all worked examples, the solutions and the PDF.

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