Definite integrals, areas and volumes

Calcola ${\int }_0^2\left(x^3-3x^2+4\right)dx$.

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Calcola ${\int }_0^{\pi }\left(2\sin x-\cos x\right)dx$.

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Una molla ha costante elastica $k=400N/m$. Calcola il lavoro necessario per portare il suo allungamento da $0,1\mathrm{m}$ a $0,3\mathrm{m}$, sapendo che la forza da applicare è $F(x)=kx$.

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Calcola ${\int }_0^1\frac{2x}{x^2+1}dx$.

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Calcola ${\int }_1^{e}x\ln xdx$.

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Calcola l’area della regione delimitata dalla parabola $y=-x^2+2x+3$ e dall’asse $x$.

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Calcola l’area della regione delimitata dalla parabola $y=x^2$ e dalla retta $y=x+2$.

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Calcola l’area della regione delimitata dal grafico di $y=e^x$, dalla retta $y=1$ e dalla retta $x=2$.

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Calcola il valore medio di $f(x)=\sin x$ nell’intervallo $[0,\pi ]$ e determina i punti $c$ di $[0,\pi ]$ in cui $f(c)$ è uguale al valore medio.

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Sia $F(x)={\int }_2^x\frac{(t-1)(t-3)}{t^2+1}dt$. Determina gli intervalli in cui $F$ è crescente o decrescente e i suoi punti di massimo e di minimo relativo.

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Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse $x$ del trapezoide di $f(x)=e^x$ sull’intervallo $[0,1]$.

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Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all’asse $x$ della regione compresa tra il grafico di $y=\sin x$ e l’asse $x$ per $0\le x\le \pi$.

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Calcola ${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^2+4}dx$.

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Un corpo parte da fermo e si muove lungo una retta con accelerazione $a(t)=6-2t$, in $m/{\mathrm{s}}^2$, per $0\le t\le 6$, con $t$ in secondi. Determina la velocità $v(t)$ e lo spazio percorso nei primi $6$ secondi.

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