Integrali definiti, aree e volumi

Che cos'è l'integrale definito e come si ottiene dalle somme di rettangoli, quali sono le sue proprietà, che cosa dicono il teorema della media e il teorema fondamentale del calcolo integrale, e come si usano gli integrali per calcolare aree, volumi dei solidi di rotazione, integrali impropri e grandezze fisiche come lo spazio percorso, il lavoro e la carica.

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Trapezoide e integrale definito
Proprietà dell’integrale definito

Trapezoide e integrale definito

1. Trapezoide

Sia $f$ una funzione continua e non negativa nell’intervallo $[a, b]$ . Il trapezoide di $f$ su $[a, b]$ è la regione del piano delimitata dal grafico di $f$ , dall’asse $x$ e dalle rette $x = a$ e $x = b$ . Per $f(x) = x + 1$ su $[0, 2]$ il trapezoide è un trapezio rettangolo, con basi $f(0) = 1$ e $f(2) = 3$ e altezza $2$ , quindi la sua area è

\frac{(1 + 3) \cdot 2}{2} = 4 .

Il nome viene da questo caso. Quando il grafico è una curva, per l’area del trapezoide non c’è una formula della geometria elementare, e la si approssima con figure formate da rettangoli.

2. Somma inferiore e somma superiore

Sia $f$ continua in $[a, b]$ . Si divide $[a, b]$ in $n$ intervalli di uguale ampiezza

h = \frac{b - a}{n} .

In ciascuno di questi intervalli $f$ è continua, quindi per il teorema di Weierstrass ha un valore minimo $m_k$ e un valore massimo $M_k$ , con $k = 1, 2, \ldots, n$ . La somma inferiore e la somma superiore sono

s_n = \sum_{k=1}^{n} m_k\,h , \qquad S_n = \sum_{k=1}^{n} M_k\,h .

Se $f \geq 0$ , la somma $s_n$ è l’area di un plurirettangolo contenuto nel trapezoide, detto inscritto, e $S_n$ è l’area di un plurirettangolo che contiene il trapezoide, detto circoscritto. Perciò l’area del trapezoide è compresa tra $s_n$ e $S_n$ .

Per $f(x) = x^2$ su $[0, 2]$ , con $n = 4$ , si ha $h = \dfrac{1}{2}$ . La funzione è crescente, quindi in ogni intervallo il minimo si trova nell’estremo sinistro e il massimo nell’estremo destro:

s_4 = \frac{1}{2} \left( 0 + \frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} \right) = \frac{7}{4} , \qquad S_4 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} + 1 + \frac{9}{4} + 4 \right) = \frac{15}{4} .

y = x^2

Per

y = x^{2}

[0, 2]

con

n = 4

il plurirettangolo inscritto, colorato, ha area

s_{4} = \frac{7}{4}

, e quello circoscritto, tratteggiato, ha area

S_{4} = \frac{15}{4}

3. Integrale definito

Al crescere di $n$ i rettangoli diventano più stretti, e le due somme si avvicinano all’area del trapezoide. Si dimostra che, se $f$ è continua in $[a, b]$ , le successioni $s_n$ e $S_n$ hanno lo stesso limite finito per $n \to +\infty$ ; la dimostrazione si studia all’università. Questo limite comune si chiama integrale definito di $f$ da $a$ a $b$ e si indica con

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to +\infty} s_n = \lim_{n \to +\infty} S_n .

I numeri $a$ e $b$ sono gli estremi di integrazione e $f$ è la funzione integranda. La definizione vale per ogni funzione continua, anche non positiva, perché le somme si calcolano allo stesso modo. Se $f \geq 0$ , l’integrale è l’area del trapezoide.

Per $f(x) = x^2$ su $[0, 2]$ si ha $h = \dfrac{2}{n}$ , e il minimo nel $k$ -esimo intervallo è $\left( \dfrac{2(k - 1)}{n} \right)^2$ . Con la formula $1^2 + 2^2 + \dots + p^2 = \dfrac{p\,(p + 1)(2p + 1)}{6}$ , che si dimostra per induzione, si ottiene

s_n = \frac{8}{n^3} \left( 1^2 + 2^2 + \dots + (n - 1)^2 \right) = \frac{8}{n^3} \cdot \frac{(n - 1)\,n\,(2n - 1)}{6} = \frac{4\,(n - 1)(2n - 1)}{3n^2} .

Per $n \to +\infty$ il numeratore e il denominatore hanno grado $2$ , quindi il limite è il rapporto dei coefficienti di $n^2$ , cioè $\dfrac{8}{3}$ . Perciò

\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3} .

Segno dell'integrale e area

Se $f \leq 0$ in $[a, b]$ , i numeri $m_k$ e $M_k$ sono negativi o nulli, quindi le somme e il loro limite sono negativi o nulli. In questo caso l’integrale è l’opposto dell’area della regione compresa tra il grafico e l’asse $x$ . Se $f$ cambia segno, l’integrale è uguale all’area delle parti che stanno sopra l’asse $x$ meno l’area delle parti che stanno sotto. Per esempio, nell’intervallo $[0, 2\pi]$ le due regioni comprese tra il grafico di $\sin x$ e l’asse $x$ sono simmetriche rispetto al punto $(\pi, 0)$ e hanno la stessa area, perciò

\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0 .

y = \sin x

[0, 2 π]

la regione sopra l'asse e quella sotto l'asse hanno la stessa area, quindi l'integrale di

sin x

[0, 2 π]

vale

0

Proprietà dell’integrale definito

Si pone per definizione

\int_a^a f(x)\,dx = 0 , \qquad \int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx .

Siano $f$ e $g$ continue in un intervallo che contiene $a$ , $b$ e $c$ , e sia $k$ un numero reale. Valgono le proprietà seguenti.

Linearità: $\displaystyle\int_a^b \big( f(x) + g(x) \big)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$ e $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k \int_a^b f(x)\,dx$ .
Additività rispetto all’intervallo: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ .
Confronto: se $a < b$ e $f(x) \leq g(x)$ per ogni $x$ di $[a, b]$ , allora $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx$ .

Le proprietà seguono dalle proprietà analoghe delle somme, passando al limite. La linearità permette di calcolare l’integrale di una somma un termine alla volta. Per esempio $\displaystyle\int_0^2 x\,dx = 2$ , perché è l’area del triangolo di vertici $(0, 0)$ , $(2, 0)$ e $(2, 2)$ ; insieme a $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \dfrac{8}{3}$ si ottiene

\int_0^2 \left( 3x^2 - 2x \right) dx = 3 \cdot \frac{8}{3} - 2 \cdot 2 = 4 .

Il confronto permette di stimare un integrale senza calcolarlo. Per $0 \leq x \leq 1$ si ha $x^2 \leq x$ , quindi $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx \leq \int_0^1 x\,dx = \dfrac{1}{2}$ .

The theory continues with 7 more sections (teorema della media, funzione integrale e teorema fondamentale, metodi di calcolo degli integrali definiti…), plus all worked examples, the solutions and the PDF.

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