Theorems of differential calculus

Verifica che la funzione $f(x)=x^3-4x$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo $[-2,2]$ e determina i punti $c$ di cui il teorema garantisce l’esistenza.

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Verifica che la funzione $f(x)=\sin (2x)$ soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo $[0,\pi ]$ e determina i punti $c$ del teorema.

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Stabilisci se il teorema di Rolle si applica alla funzione $f(x)=\sqrt[3]{x^2}$ nell’intervallo $[-1,1]$, e se esiste un punto di $(-1,1)$ in cui la derivata si annulla.

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Verifica che la funzione $f(x)=x^3-x$ soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo $[0,2]$ e determina il punto $c$ del teorema.

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Verifica che la funzione $f(x)=\frac{1}{x}$ soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo $[1,3]$ e determina il punto $c$ del teorema.

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Si consideri la funzione

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+a& \text{se }0\le x\le 1\\ bx-1& \text{se }1<x\le 3\end{array}$$

Determina $a$ e $b$ in modo che $f$ soddisfi le ipotesi del teorema di Lagrange nell’intervallo $[0,3]$, e determina il punto $c$ del teorema.

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Determina gli intervalli di monotonia della funzione $f(x)=\frac{\ln x}{x}$.

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Determina i valori del parametro $k$ per cui la funzione $f(x)=e^x-kx$ è crescente nell’intervallo $[0,+\infty )$.

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Verifica che la funzione $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}-\arctan x$ è costante nell’intervallo $(-\infty ,1)$ e calcola il valore della costante.

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Dimostra che $\ln x\le x-1$ per ogni $x>0$.

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Verifica che le funzioni $f(x)=x^2$ e $g(x)=x^3$ soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy nell’intervallo $[0,1]$ e determina il punto $c$ del teorema.

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Calcola $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}$.

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Calcola $\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right)$.

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Calcola $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\cos (2x)\right)}^{\frac{1}{x^2}}$.

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