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Theory

Continuità e asintoti

Che cos'è una funzione continua in un punto e in un intervallo, come si classificano i punti di discontinuità, che cosa affermano i teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi e di esistenza degli zeri, come si approssima uno zero con il metodo di bisezione, come si trovano gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui e come si traccia il grafico probabile di una funzione.

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Funzioni continue
Punti di discontinuità

Funzioni continue

1. Funzione continua in un punto

Sia $f$ una funzione definita in un intorno $I(x_0)$ del punto $x_0$ , compreso il punto $x_0$ . La funzione $f$ è continua in $x_0$ se

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) .

L’uguaglianza contiene tre richieste, che devono essere soddisfatte insieme:

\begin{cases} f(x_0) \text{ esiste} \\[4pt] \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) \text{ esiste ed è finito} \\[4pt] \displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{cases}

Con la definizione di limite vista nell’argomento sui limiti, la continuità in $x_0$ significa che per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $\delta > 0$ tale che $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ per ogni $x$ con $|x - x_0| < \delta$ . In altre parole, se $x$ è vicino a $x_0$ , allora $f(x)$ è vicino a $f(x_0)$ . Per esempio $f(x) = x^2 + 1$ è continua in $x_0 = 2$ , perché $f(2) = 5$ e $\displaystyle\lim_{x \to 2} \left( x^2 + 1 \right) = 5$ .

2. Continuità a destra e a sinistra

Sia $f$ definita in $x_0$ e a destra di $x_0$ . La funzione è continua a destra in $x_0$ se $\displaystyle\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ . Allo stesso modo, con il limite sinistro, si definisce la continuità a sinistra. Un limite esiste se e solo se il limite destro e il limite sinistro esistono e sono uguali, quindi $f$ è continua in $x_0$ se e solo se è continua sia a destra sia a sinistra.

Questa definizione serve per le funzioni definite a tratti. Per la funzione che vale $x^2$ per $x \leq 1$ e $2x$ per $x > 1$ si ha $f(1) = 1$ . Il limite sinistro in $1$ è $1$ , quindi la funzione è continua a sinistra; il limite destro è $2$ , quindi la funzione non è continua a destra, e perciò non è continua in $1$ .

3. Funzione continua in un intervallo

Una funzione è continua in un intervallo se è continua in ogni punto dell’intervallo. In un estremo chiuso dell’intervallo si richiede solo la continuità da una parte. Per esempio $f$ è continua in $[a, b]$ se è continua in ogni punto di $(a, b)$ , continua a destra in $a$ e continua a sinistra in $b$ . Una funzione continua in tutti i punti del suo dominio si dice semplicemente continua.

Il grafico di una funzione continua in un intervallo si disegna senza staccare la matita dal foglio. La funzione $\sqrt{x}$ è continua in $[0, +\infty)$ , e nel punto $0$ è continua a destra, perché $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0 = \sqrt{0}$ .

4. Continuità delle funzioni elementari e delle operazioni

Le funzioni elementari sono continue in tutti i punti del loro dominio: i polinomi, le funzioni razionali fratte, le radici, le potenze, le funzioni esponenziali, le funzioni logaritmiche, le funzioni goniometriche e le loro inverse. Inoltre, se $f$ e $g$ sono continue in $x_0$ , sono continue in $x_0$ anche

f + g , \qquad f - g , \qquad f \cdot g , \qquad \frac{f}{g} \quad \text{se } g(x_0) \neq 0 .

Se $g$ è continua in $x_0$ e $f$ è continua in $g(x_0)$ , la funzione composta $f\big( g(x) \big)$ è continua in $x_0$ .

Il teorema permette di calcolare il limite di una funzione continua per sostituzione, cioè calcolando la funzione nel punto. Per esempio

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 1}{x + 3} = \frac{4 + 1}{2 + 3} = 1 , \qquad \lim_{x \to \pi} x \cos x = \pi \cos \pi = -\pi .

Per i polinomi e le funzioni razionali fratte il teorema segue dai teoremi sul limite della somma, del prodotto e del quoziente; per le altre funzioni la dimostrazione si studia all’università.

Limite di una funzione composta

Si calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} e^{\frac{\sin x}{x}}$ . Per il limite notevole visto nell’argomento sui limiti, l’esponente $\dfrac{\sin x}{x}$ tende a $1$ . La funzione esponenziale è continua in $1$ , quindi

\lim_{x \to 0} e^{\frac{\sin x}{x}} = e^{1} = e .

Punti di discontinuità

1. Punto di discontinuità

Sia $f$ definita in un intorno di $x_0$ , escluso al più il punto $x_0$ . Il punto $x_0$ è un punto di discontinuità di $f$ se $f$ non è continua in $x_0$ . Questo accade in due casi:

$f$ è definita in $x_0$ , ma il limite per $x \to x_0$ non esiste, oppure è infinito, oppure è diverso da $f(x_0)$ ;
$f$ non è definita in $x_0$ , ma è definita in tutti i punti vicini a $x_0$ .

Per esempio la funzione $\dfrac{1}{x}$ non è definita in $0$ , ma è definita in tutti gli altri punti; perciò $0$ è un punto di discontinuità. I punti di discontinuità si classificano in tre specie, secondo i valori del limite destro e del limite sinistro.

2. Discontinuità di prima specie

Il punto $x_0$ è una discontinuità di prima specie se il limite destro e il limite sinistro di $f$ in $x_0$ esistono, sono finiti e sono diversi:

\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \ell_1 , \qquad \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \ell_2 , \qquad \ell_1 \neq \ell_2 .

Il numero $|\ell_2 - \ell_1|$ si chiama salto della funzione in $x_0$ . Nel grafico la curva si interrompe e riprende a un’altra altezza. Per la funzione che vale $x + 1$ per $x < 1$ e $x - 2$ per $x \geq 1$ si ha $\ell_1 = 2$ e $\ell_2 = -1$ , quindi in $x_0 = 1$ c’è una discontinuità di prima specie con salto $|-1 - 2| = 3$ .

La funzione vale

x + 1

per

x < 1

x - 2

per

x \geq 1

; in

x = 1

il limite sinistro è

2

, il limite destro è

- 1

e il salto è

3

3. Discontinuità di seconda specie

Il punto $x_0$ è una discontinuità di seconda specie se almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, è infinito oppure non esiste. Per $f(x) = e^{\frac{1}{x}}$ e $x_0 = 0$ si ha:

per $x \to 0^+$ l’esponente $\dfrac{1}{x}$ tende a $+\infty$ , quindi $f(x) \to +\infty$ ;
per $x \to 0^-$ l’esponente tende a $-\infty$ , quindi $f(x) \to 0$ .

Il limite destro è infinito, perciò $0$ è una discontinuità di seconda specie. Anche $\dfrac{1}{x}$ ha in $0$ una discontinuità di seconda specie, perché i due limiti sono $+\infty$ e $-\infty$ . Per la funzione $\sin \dfrac{1}{x}$ i due limiti in $0$ non esistono, perché i valori oscillano tra $-1$ e $1$ sempre più rapidamente.

y = e^{\frac{1}{x}}

La funzione

e^{\frac{1}{x}}

tende a

0

per

x \to 0^{-}

e a

+ \infty

per

x \to 0^{+}

, quindi in

0

ha una discontinuità di seconda specie

4. Discontinuità di terza specie o eliminabile

Il punto $x_0$ è una discontinuità di terza specie, o eliminabile, se il limite di $f$ per $x \to x_0$ esiste ed è finito, ma $f$ non è definita in $x_0$ , oppure $f(x_0)$ è diverso dal limite. In questo caso si può definire una nuova funzione, uguale a $f$ per $x \neq x_0$ e uguale al limite in $x_0$ , che è continua in $x_0$ . Si dice che la discontinuità si elimina prolungando per continuità la funzione.

Per esempio $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ non è definita in $0$ , e per il limite notevole $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ . Quindi $0$ è una discontinuità eliminabile, e la funzione che vale $\dfrac{\sin x}{x}$ per $x \neq 0$ e $1$ per $x = 0$ è continua su $\mathbb{R}$ .

y = \dfrac{\sin x}{x}

Il grafico di

\frac{sin x}{x}

si avvicina al punto

(0, 1)

, che non gli appartiene; la discontinuità in

0

è eliminabile

Dove si cercano i punti di discontinuità

Per il teorema sulla continuità delle funzioni elementari, una funzione scritta con una sola espressione è continua nel suo dominio. I punti di discontinuità si cercano quindi

nei punti esclusi dal dominio vicino ai quali la funzione è definita, come gli zeri di un denominatore;
nei punti in cui cambia l’espressione di una funzione definita a tratti.

In ciascuno di questi punti si calcolano il limite destro e il limite sinistro. Per $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ l’unico punto escluso è $2$ . Per $x \neq 2$ si ha $f(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ , che tende a $4$ , quindi $2$ è una discontinuità eliminabile.

The theory continues with 6 more sections (teoremi sulle funzioni continue, metodo di bisezione, asintoti verticali…), plus all worked examples, the solutions and the PDF.

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