The exam topics
Mathematics, 5th year
The mathematics of the final year of the Italian scientific high school (liceo scientifico), up to the written maths exam: limits, derivatives, curve sketching, integrals, differential equations, geometry in space and probability.
Functions and their properties
Che cos'è una funzione e come si classifica, come se ne trovano il dominio, il segno e le intersezioni con gli assi, che cosa significa che una funzione è pari, dispari, periodica, crescente, iniettiva o suriettiva, come si costruiscono la funzione inversa e la funzione composta, e come si disegnano i grafici delle funzioni elementari e quelli ottenuti con traslazioni, simmetrie, dilatazioni e valore assoluto.
Limits
Che cosa sono gli intorni e i punti di accumulazione, come si definisce il limite di una funzione nei quattro casi, che cosa dicono i teoremi di unicità, della permanenza del segno e del confronto, come si calcolano i limiti con le regole delle operazioni e con i limiti notevoli, come si confrontano infinitesimi e infiniti e che cos'è il limite di una successione.
Continuity and asymptotes
Che cos'è una funzione continua in un punto e in un intervallo, come si classificano i punti di discontinuità, che cosa affermano i teoremi di Weierstrass, dei valori intermedi e di esistenza degli zeri, come si approssima uno zero con il metodo di bisezione, come si trovano gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui e come si traccia il grafico probabile di una funzione.
Derivatives
Che cos'è la derivata di una funzione e che cosa rappresenta nel grafico, come si calcola con la definizione e con le regole di derivazione, quali sono i punti in cui una funzione non è derivabile, che cos'è il differenziale e come si usano le derivate in fisica per velocità, accelerazione e intensità di corrente.
Theorems of differential calculus
Che cosa affermano i teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange e Cauchy e qual è il loro significato geometrico, come dal teorema di Lagrange si ricavano il criterio di monotonia e le proprietà delle funzioni con derivata nulla, e come si calcolano i limiti nelle forme indeterminate con il teorema di De L'Hôpital.
Maxima, minima, inflection points and curve sketching
Come si trovano i massimi e i minimi di una funzione con la derivata prima, come si studiano concavità e flessi con la derivata seconda, come si traccia il grafico con lo schema completo dello studio di funzione e come si usano le derivate nei problemi di massimo e di minimo, nella discussione grafica di equazioni con un parametro e nella risoluzione approssimata di equazioni.
Indefinite integrals
Che cosa sono le primitive di una funzione e l'integrale indefinito, come si calcolano gli integrali immediati e quelli di funzioni composte, come si usano l'integrazione per sostituzione e per parti e come si integrano le funzioni razionali fratte con denominatore di primo e di secondo grado.
Definite integrals, areas and volumes
Che cos'è l'integrale definito e come si ottiene dalle somme di rettangoli, quali sono le sue proprietà, che cosa dicono il teorema della media e il teorema fondamentale del calcolo integrale, e come si usano gli integrali per calcolare aree, volumi dei solidi di rotazione, integrali impropri e grandezze fisiche come lo spazio percorso, il lavoro e la carica.
Differential equations
Che cos'è un'equazione differenziale e che cosa sono l'integrale generale, gli integrali particolari e il problema di Cauchy, come si risolvono le equazioni del primo ordine a variabili separabili e lineari e le equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, e come si usano per il decadimento radioattivo, la crescita di una popolazione, il circuito RC e il moto armonico.
Analytic geometry in space
Come si descrivono con le coordinate i punti, i vettori, i piani, le rette e le superfici sferiche dello spazio, come si calcolano distanze, angoli e prodotti tra vettori e come si stabilisce la posizione reciproca di rette e piani.
Probability and distributions
Come si contano i casi con il calcolo combinatorio, come si calcola la probabilità di un evento con i teoremi della somma e del prodotto, la probabilità condizionata e il teorema di Bayes, che cosa sono le variabili aleatorie discrete e continue con valore medio e varianza, e come si usano le distribuzioni binomiale, di Poisson, uniforme, esponenziale e normale.