Limiti

1. Intervalli

Siano $a$ e $b$ due numeri reali con $a<b$. Un intervallo è l’insieme dei numeri reali compresi tra $a$ e $b$, con o senza gli estremi:

I numeri $a$ e $b$ sono gli estremi dell’intervallo, e la differenza $b-a$ è la sua ampiezza. Gli intervalli illimitati si scrivono con i simboli $+\infty$ e $-\infty$. Per esempio $[a,+\infty )$ è l’insieme dei numeri $x\ge a$, $(-\infty ,b)$ è l’insieme dei numeri $x<b$, e l’insieme $\mathbb{R}$ si scrive anche $(-\infty ,+\infty )$.

Con gli intervalli si scrivono i domini delle funzioni e le soluzioni delle disequazioni. La disequazione $x^2<4$ ha per soluzioni l’intervallo aperto $(-2,2)$, di ampiezza $4$, e la disequazione $2x-6\ge 0$ ha per soluzioni l’intervallo illimitato $[3,+\infty )$.

2. Intorni di un punto

Sia $x_0$ un numero reale e sia $\delta$ un numero positivo. L’intorno circolare di $x_0$ di raggio $\delta$ è l’intervallo aperto $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$, che ha centro $x_0$. I suoi punti sono i numeri $x$ che distano da $x_0$ meno di $\delta$, cioè quelli che soddisfano la disequazione

Più in generale si chiama intorno di $x_0$, e si indica con $I(x_0)$, ogni intervallo aperto che contiene $x_0$. L’intervallo $[x_0,x_0+\delta )$ si chiama intorno destro di $x_0$, e l’intervallo $(x_0-\delta ,x_0]$ si chiama intorno sinistro.

Gli intorni servono a dire in modo preciso che un numero $x$ è vicino a $x_0$. Più il raggio $\delta$ è piccolo, più i punti dell’intorno sono vicini a $x_0$. Per esempio l’intorno circolare di $3$ di raggio $0,1$ è l’intervallo $(2,9;3,1)$, perché la disequazione $|x-3|<0,1$ equivale a $-0,1<x-3<0,1$, cioè a $2,9<x<3,1$.

3. Intorni di infinito

Sia $a$ un numero reale. Un intorno di più infinito è un intervallo $(a,+\infty )$, e un intorno di meno infinito è un intervallo $(-\infty ,a)$. Con $a>0$, l’insieme $(-\infty ,-a)\cup (a,+\infty )$ si chiama intorno di infinito, senza segno; i suoi punti sono i numeri che soddisfano $|x|>a$.

Questi intorni servono a dire in modo preciso che un numero $x$ è molto grande, oppure molto grande in valore assoluto. Per esempio l’intervallo $(1000,+\infty )$ è un intorno di $+\infty$, e i numeri con $|x|>10$ formano un intorno di infinito.

4. Punti di accumulazione e punti isolati

Sia $A$ un insieme di numeri reali. Un numero $x_0$ è un punto di accumulazione di $A$ se ogni intorno di $x_0$ contiene almeno un punto di $A$ diverso da $x_0$; il numero $x_0$ può appartenere ad $A$ oppure no. Un punto $x_0$ di $A$ è un punto isolato di $A$ se esiste un intorno di $x_0$ che non contiene altri punti di $A$. Per esempio, per l’insieme $A=(0,1]\cup \{2\}$:

• $0$ è un punto di accumulazione di $A$ che non appartiene ad $A$, perché ogni intorno $(-\delta ,\delta )$ con $\delta <1$ contiene il punto $\frac{\delta }{2}$, che sta in $(0,1]$;
• $2$ è un punto isolato di $A$, perché l’intorno $(1,5;2,5)$ non contiene altri punti di $A$.

Il limite di una funzione per $x$ che tende a $x_0$ si definisce solo quando $x_0$ è un punto di accumulazione del dominio $D$, perché $x$ deve potersi avvicinare a $x_0$ restando in $D$. Per esempio la funzione $f(x)=\sqrt{x^3-x^2}$ è definita quando $x^2(x-1)\ge 0$, cioè per $x=0$ e per $x\ge 1$. Il suo dominio è quindi $D=\{0\}\cup [1,+\infty )$. Il punto $0$ è isolato, perciò per $x\to 0$ il limite non ha senso, mentre il punto $1$ è di accumulazione.

1. Limite finito in un punto

L’idea è che i valori $f(x)$ si avvicinano quanto si vuole a un numero $\ell$ quando $x$ si avvicina a $x_0$. Per dirlo in modo preciso si fissa una distanza $\epsilon$, piccola a piacere, e si chiede che $f(x)$ disti da $\ell$ meno di $\epsilon$ per tutti gli $x$ abbastanza vicini a $x_0$.

Sia $f$ una funzione con dominio $D$, sia $x_0$ un punto di accumulazione di $D$ e sia $\ell$ un numero reale. Si dice che $f(x)$ tende a $\ell$ per $x$ che tende a $x_0$, e si scrive

se per ogni numero $\epsilon >0$ esiste un numero $\delta >0$ tale che

In altre parole, la distanza di $f(x)$ da $\ell$ è minore del numero $\epsilon$ scelto, purché la distanza di $x$ da $x_0$ sia minore di un opportuno $\delta$. La condizione $0<|x-x_0|$ esclude il punto $x_0$, quindi il valore $f(x_0)$ non interviene nella definizione, e la funzione può anche non essere definita in $x_0$. Nel grafico la disuguaglianza $|f(x)-\ell |<\epsilon$ significa che il punto $(x,f(x))$ sta nella striscia orizzontale $\ell -\epsilon <y<\ell +\epsilon$.

Per $f(x)=2x+1$ e $x_0=1$ il limite è $\ell =3$. Infatti $|f(x)-3|=|2x-2|=2|x-1|$, e la disequazione $2|x-1|<\epsilon$ equivale a $|x-1|<\frac{\epsilon }{2}$. Quindi, per ogni $\epsilon >0$, il numero $\delta =\frac{\epsilon }{2}$ soddisfa la definizione. Con $\epsilon =1$ si ha $\delta =\frac{1}{2}$, e per $\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$ i valori di $f$ sono compresi tra $2$ e $4$.

2. Limite destro e limite sinistro

Se nella definizione di limite si considerano solo i punti con $x>x_0$, cioè la condizione $x_0<x<x_0+\delta$, si ottiene il limite destro, che si scrive $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)$. Con i soli punti $x<x_0$, cioè con la condizione $x_0-\delta <x<x_0$, si ottiene il limite sinistro $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)$. Il limite per $x\to x_0$ esiste e vale $\ell$ se e solo se il limite destro e il limite sinistro esistono e valgono entrambi $\ell$.

Per esempio la funzione che vale $x+1$ per $x<1$ e $4-x$ per $x\ge 1$ ha in $x_0=1$ limite sinistro $2$, perché per $x<1$ i valori $x+1$ si avvicinano a $2$, e limite destro $3$, perché per $x>1$ i valori $4-x$ si avvicinano a $3$. I due limiti sono diversi, quindi il limite per $x\to 1$ non esiste.