Geometria analitica nello spazio

1. Sistema di riferimento cartesiano nello spazio

Un sistema di riferimento cartesiano nello spazio è formato da tre rette orientate, gli assi $x$, $y$ e $z$, che passano per uno stesso punto $O$, detto origine, e sono perpendicolari a due a due; su tutti e tre gli assi si usa la stessa unità di misura. Gli assi si orientano in modo che, guardando il piano degli assi $x$ e $y$ dal semiasse positivo delle $z$, la rotazione di un angolo retto che porta il semiasse positivo delle $x$ sul semiasse positivo delle $y$ sia antioraria.

Per un punto $P$ dello spazio si conducono i tre piani che passano per $P$ e sono perpendicolari agli assi. Questi piani intersecano gli assi in tre punti, e le loro coordinate sugli assi sono le coordinate di $P$, che si scrive $P(x_P,y_P,z_P)$. I numeri $x_P$, $y_P$ e $z_P$ si chiamano ascissa, ordinata e quota di $P$.

Per esempio, il punto $P(2,3,4)$ si raggiunge partendo dall’origine, spostandosi di $2$ unità nel verso dell’asse $x$, poi di $3$ unità nel verso dell’asse $y$, e salendo infine di $4$ unità nel verso dell’asse $z$. Il punto $H(2,3,0)$ si trova sotto $P$, nel piano degli assi $x$ e $y$, e si chiama proiezione di $P$ su quel piano.

1. Vettori e loro componenti

Un vettore è individuato da una direzione, un verso e un modulo, cioè una lunghezza. Si indica con $\vec{v}$ e si rappresenta con una freccia; due frecce parallele, con lo stesso verso e la stessa lunghezza rappresentano lo stesso vettore. Siano $\vec{i}$, $\vec{j}$ e $\vec{k}$ i vettori di modulo $1$ diretti come i semiassi positivi $x$, $y$ e $z$. Ogni vettore si scrive in un solo modo come

e i numeri $a$, $b$ e $c$ sono le componenti di $\vec{v}$; si scrive $\vec{v}=(a,b,c)$. Il vettore che va dal punto $A$ al punto $B$ ha per componenti le differenze delle coordinate:

Il modulo di $\vec{v}=(a,b,c)$ è la lunghezza della freccia, quindi per la formula della distanza vale $|\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Per $A(1,0,2)$ e $B(3,4,6)$ si ha $\overrightarrow{AB}=(2,4,4)$ e $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{4+16+16}=6$, che è la distanza tra $A$ e $B$.

2. Somma di vettori e prodotto per un numero

La somma di due vettori si ottiene con la regola del parallelogramma, come nel piano, e in componenti si calcola componente per componente. Il prodotto di un numero reale $k$ per un vettore moltiplica per $k$ tutte le componenti:

Il vettore $k\vec{v}$ ha la stessa direzione di $\vec{v}$, lo stesso verso se $k>0$ e verso opposto se $k<0$, e ha modulo $|k||\vec{v}|$. Per $\vec{u}=(1,-2,3)$ e $\vec{v}=(2,0,-1)$ si ha $\vec{u}+\vec{v}=(3,-2,2)$ e $3\vec{u}-2\vec{v}=(3-4,-6-0,9+2)=(-1,-6,11)$.

Un vettore di modulo $1$ si chiama versore. Dividendo un vettore non nullo per il suo modulo si ottiene il versore con la stessa direzione e lo stesso verso. Per esempio $\vec{v}=(2,-1,2)$ ha modulo $3$, quindi il suo versore è $\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$.