Funzioni e loro proprietà

1. Funzione

Siano $A$ e $B$ due insiemi non vuoti. Una funzione $f$ da $A$ in $B$ è una legge che associa a ogni elemento $x$ di $A$ uno e un solo elemento $y$ di $B$. Si scrive $f:A\to B$ e $y=f(x)$. L’insieme $A$ si chiama dominio della funzione e l’insieme $B$ si chiama codominio. In questo argomento $A$ e $B$ sono insiemi di numeri reali, e si parla di funzioni reali di variabile reale; $x$ è la variabile indipendente e $y$ la variabile dipendente.

Per esempio la legge $f(x)=2x-1$, da $\mathbb{R}$ in $\mathbb{R}$, associa al numero $3$ il numero $f(3)=2\cdot 3-1=5$ e al numero $-2$ il numero $f(-2)=-5$. La legge che associa a ogni numero reale $x$ i numeri $y$ tali che $y^2=x$ non è una funzione, perché a $x=4$ associa due numeri, $2$ e $-2$.

2. Immagine e insieme immagine

Sia $f:A\to B$. Il numero $f(x)$ si chiama immagine di $x$. Se $y=f(x)$, il numero $x$ si chiama controimmagine di $y$. L’insieme di tutte le immagini

si chiama insieme immagine di $f$, ed è contenuto nel codominio.

Per $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ con $f(x)=x^2$, l’immagine di $-3$ è $9$, e il numero $9$ ha due controimmagini, $3$ e $-3$. L’insieme immagine è $[0,+\infty )$, perché un quadrato è sempre maggiore o uguale a $0$ e ogni numero $y\ge 0$ è il quadrato di $\sqrt{y}$. Il numero $-1$ appartiene al codominio $\mathbb{R}$ e non ha controimmagini, quindi in questo caso l’insieme immagine è più piccolo del codominio.

3. Grafico di una funzione

Il grafico di una funzione $f$ con dominio $A$ è l’insieme dei punti del piano cartesiano di coordinate $(x,f(x))$, con $x$ in $A$. Un punto $P(x_0,y_0)$ appartiene al grafico se e solo se $x_0$ appartiene al dominio e $y_0=f(x_0)$. Per $f(x)=x^2-3$ il punto $(2,1)$ appartiene al grafico, perché $2^2-3=1$, mentre il punto $(1,1)$ non vi appartiene, perché $1^2-3=-2$.

A ogni $x$ del dominio corrisponde un solo valore $f(x)$, quindi una retta verticale incontra il grafico di una funzione in al più un punto. Questa proprietà permette di riconoscere dal disegno se una curva è il grafico di una funzione. La parabola $x=y^2$ è incontrata dalla retta $x=4$ nei due punti $(4,2)$ e $(4,-2)$, perciò non è il grafico di una funzione $y=f(x)$. La sua parte con $y\ge 0$, di equazione $y=\sqrt{x}$, è invece il grafico di una funzione.

4. Funzioni algebriche e funzioni trascendenti

Una funzione data con una formula si dice algebrica se nella formula la variabile $x$ compare soltanto in addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, potenze con esponente intero ed estrazioni di radice. Le funzioni algebriche si distinguono in tre tipi.

• Razionali intere, o polinomiali, se $x$ non compare al denominatore né sotto il segno di radice, come $y=x^3-2x+1$.
• Razionali fratte, se $x$ compare al denominatore e non sotto il segno di radice, come $y=\frac{x+1}{x^2-4}$.
• Irrazionali, se $x$ compare sotto il segno di radice, come $y=\sqrt{x-1}$ oppure $y=\sqrt[3]{x^2+x}$.

Una funzione che non è algebrica si dice trascendente. Sono trascendenti le funzioni esponenziali come $y=2^x$, le logaritmiche come $y=\ln (x+1)$, le goniometriche come $y=\sin x$, e le funzioni che le contengono, come $y=x{e}^x$. Il tipo di funzione indica quali condizioni si devono imporre per trovarne il dominio.

Dominio naturale

Quando una funzione è data soltanto con la sua formula $y=f(x)$, il suo dominio è l’insieme dei numeri reali $x$ per i quali la formula dà come risultato un numero reale. Questo insieme si chiama dominio naturale, o campo di esistenza, e si indica con $D$. Le condizioni da imporre sono le seguenti.

• Ogni denominatore è diverso da $0$.
• Il radicando di una radice di indice pari è maggiore o uguale a $0$. Le radici di indice dispari non pongono condizioni.
• L’argomento di un logaritmo è maggiore di $0$.
• In una potenza $(f(x){)}^{g(x)}$ con l’esponente che dipende da $x$, la base è maggiore di $0$.
• L’argomento di $\tan x$ è diverso da $\frac{\pi }{2}+k\pi$, con $k$ intero; l’argomento di $\arcsin x$ e di $\arccos x$ è compreso tra $-1$ e $1$.

I polinomi, gli esponenziali con base costante positiva, il seno, il coseno e l’arcotangente sono definiti per ogni $x$ reale. Quando le condizioni sono più di una, devono essere soddisfatte tutte insieme, quindi si risolve un sistema e il dominio è l’intersezione delle soluzioni. Per esempio $y=\frac{1}{x-2}$ ha dominio $D=\mathbb{R}\setminus \{2\}$, e $y=\sqrt{6-2x}$ ha dominio $D=(-\infty ,3]$, perché $6-2x\ge 0$ equivale a $x\le 3$.