Equazioni differenziali

Che cos'è un'equazione differenziale e che cosa sono l'integrale generale, gli integrali particolari e il problema di Cauchy, come si risolvono le equazioni del primo ordine a variabili separabili e lineari e le equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti, e come si usano per il decadimento radioattivo, la crescita di una popolazione, il circuito RC e il moto armonico.

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Che cos’è un’equazione differenziale
Problema di Cauchy

Che cos’è un’equazione differenziale

1. Equazione differenziale e ordine

Un’equazione differenziale è un’equazione in cui l’incognita è una funzione $y = y(x)$ e che contiene almeno una derivata di $y$ . L’ordine dell’equazione è l’ordine massimo delle derivate che vi compaiono. Per esempio

y' = 2x , \qquad y' = 3y , \qquad y'' + y = 0

sono equazioni del primo, del primo e del secondo ordine. Una soluzione in un intervallo $I$ è una funzione derivabile in $I$ tante volte quanto è l’ordine, che sostituita nell’equazione la rende un’identità per ogni $x$ di $I$ .

Per controllare che una funzione sia soluzione si calcolano le derivate e si sostituiscono. La funzione $y = e^{3x}$ ha derivata $y' = 3e^{3x}$ , che è uguale a $3y$ per ogni $x$ reale, quindi $y = e^{3x}$ è una soluzione di $y' = 3y$ in $\mathbb{R}$ .

Una soluzione si verifica per sostituzione

Si verifica che $y = \sin x + \cos x$ è soluzione di $y'' + y = 0$ . Le derivate sono

y' = \cos x - \sin x , \qquad y'' = -\sin x - \cos x ,

quindi $y'' + y = -\sin x - \cos x + \sin x + \cos x = 0$ per ogni $x$ . La funzione $y = x^2$ , invece, ha $y'' + y = 2 + x^2$ , che è diverso da $0$ per ogni $x$ ; perciò $x^2$ non è una soluzione.

2. Integrale generale e integrale particolare

Risolvere un’equazione differenziale significa trovare tutte le sue soluzioni. Le soluzioni di un’equazione del primo ordine dipendono di solito da una costante arbitraria $c$ , quelle di un’equazione del secondo ordine da due costanti $c_1$ e $c_2$ . L’espressione che contiene le costanti e descrive tutte le soluzioni si chiama integrale generale; ogni soluzione che si ottiene dando un valore alle costanti si chiama integrale particolare. Il grafico di una soluzione si chiama curva integrale.

Per l’equazione $y' = 2x$ le soluzioni sono le primitive di $2x$ , cioè

y = x^2 + c , \qquad c \in \mathbb{R} .

Questo è l’integrale generale. Con $c = 2$ si ottiene l’integrale particolare $y = x^2 + 2$ , con $c = -1$ l’integrale particolare $y = x^2 - 1$ . Le curve integrali sono parabole che si ottengono l’una dall’altra con una traslazione verticale.

Un'equazione del secondo ordine che si risolve integrando due volte

Per l’equazione $y'' = 6x$ si integra una prima volta e si ottiene $y' = 3x^2 + c_1$ ; integrando ancora si ottiene

y = x^3 + c_1 x + c_2 , \qquad c_1, c_2 \in \mathbb{R} .

Le costanti sono due, una per ogni integrazione, come accade per ogni equazione del secondo ordine. Le primitive si calcolano con i metodi dell’argomento sugli integrali indefiniti.

Problema di Cauchy

Per scegliere una soluzione tra le infinite dell’integrale generale si assegnano delle condizioni iniziali. Per un’equazione del primo ordine si assegna il valore $y_0$ della soluzione in un punto $x_0$ ; per un’equazione del secondo ordine si assegnano il valore della soluzione e il valore della sua derivata nello stesso punto. Il problema di Cauchy è il sistema formato dall’equazione e dalle condizioni iniziali:

\begin{cases} y' = f(x, y) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases} \qquad\qquad \begin{cases} y'' = f(x, y, y') \\ y(x_0) = y_0 \\ y'(x_0) = y_1 \end{cases}

Geometricamente, per il primo ordine si cerca la curva integrale che passa per il punto $(x_0, y_0)$ . Per esempio il problema $y' = 2x$ , $y(1) = 3$ si risolve sostituendo le condizioni nell’integrale generale $y = x^2 + c$ . Si ottiene $3 = 1 + c$ , quindi $c = 2$ e la soluzione è $y = x^2 + 2$ .

y = x^2 + 2

y = x^2 - 1

Due curve integrali di

y^{'} = 2 x

; la soluzione del problema di Cauchy con

y (1) = 3

è quella che passa per

P (1, 3)

Teorema di esistenza e unicità

Un’equazione del primo ordine si dice in forma normale se è scritta come $y' = f(x, y)$ , cioè se è risolta rispetto a $y'$ . Sia $f(x, y)$ continua, e sia continua anche la sua derivata rispetto a $y$ , calcolata considerando $x$ come una costante, in un rettangolo del piano che contiene il punto $(x_0, y_0)$ . Allora esiste un intervallo $I$ contenente $x_0$ in cui il problema di Cauchy $y' = f(x, y)$ , $y(x_0) = y_0$ ha una e una sola soluzione.

Per un problema di Cauchy del secondo ordine vale un teorema analogo. In particolare, per le equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti costanti il problema ha una e una sola soluzione definita su tutto $\mathbb{R}$ , qualunque siano $x_0$ , $y_0$ e $y_1$ .

Il teorema garantisce che per ogni punto del rettangolo passa una sola curva integrale. Per $y' = 3y$ si ha $f(x, y) = 3y$ , che è continua con derivata rispetto a $y$ uguale a $3$ ; quindi il teorema si applica in ogni punto del piano. La dimostrazione si studia all’università.

Un problema di Cauchy del secondo ordine

Si risolve il problema $y'' = 6x$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 2$ . Dall’integrale generale $y = x^3 + c_1 x + c_2$ si ricava $y' = 3x^2 + c_1$ . La condizione $y'(0) = 2$ dà $c_1 = 2$ , e la condizione $y(0) = 1$ dà $c_2 = 1$ . La soluzione è quindi

y = x^3 + 2x + 1 .

The theory continues with 6 more sections (equazioni a variabili separabili, equazioni lineari del primo ordine, equazioni lineari del secondo ordine omogenee…), plus all worked examples, the solutions and the PDF.

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