Differential equations

Verifica che la funzione $y=e^{-x}+x-1$ è soluzione dell’equazione differenziale $y^{\prime }+y=x$.

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Determina l’integrale generale dell’equazione $y^{\prime }=2x+\cos x$ e la soluzione che soddisfa la condizione $y(0)=3$.

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Risolvi il problema di Cauchy $y^{\prime }=(x+1)y$, $y(0)=1$.

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Risolvi il problema di Cauchy $y^{\prime }=y^2\cos x$, $y(0)=1$, e indica l’intervallo in cui è definita la soluzione.

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Risolvi il problema di Cauchy $y{y}^{\prime }=x$, $y(0)=2$.

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Risolvi il problema di Cauchy $y^{\prime }+3y=6$, $y(0)=0$, e calcola il limite della soluzione per $x\to +\infty$.

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Risolvi il problema di Cauchy $y^{\prime }-\frac{2y}{x}=x^3$, $y(1)=1$, nell’intervallo $x>0$.

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Risolvi il problema di Cauchy $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-6y=0$, $y(0)=0$, $y^{\prime }(0)=5$.

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Determina i valori del parametro reale $k$ per cui le soluzioni dell’equazione $y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+ky=0$ contengono le funzioni seno e coseno, e scrivi l’integrale generale per $k=10$.

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Determina l’integrale generale dell’equazione $y^{\prime \prime }+4y=8x^2$.

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Determina l’integrale generale dell’equazione $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=e^x$.

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Determina l’integrale generale dell’equazione $y^{\prime \prime }+y^{\prime }=2\cos x$.

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Una colonia di batteri cresce secondo il modello di Malthus $P^{\prime }(t)=kP(t)$, con $t$ in ore. All’inizio i batteri sono $500$, e il loro numero raddoppia ogni $2$ ore. Determina $k$, la legge $P(t)$ e l’istante in cui i batteri sono $8000$.

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Un corpo di massa $0,5\mathrm{kg}$ è attaccato a una molla di costante elastica $50N/m$ e si muove senza attrito. All’istante $t=0$ il corpo è fermo nella posizione $x=0,1\mathrm{m}$, misurata dalla posizione di riposo. Determina la legge del moto, il periodo e la velocità massima.

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