Probability and distributions

Si lanciano due dadi. Calcola la probabilità che il prodotto dei due numeri usciti sia pari.

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Un’urna contiene $10$ palline numerate da $1$ a $10$. Si estraggono contemporaneamente $3$ palline. Calcola la probabilità che i tre numeri estratti siano tutti pari.

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In un gruppo di $5$ persone ciascuna è nata in uno dei $12$ mesi dell’anno, e i mesi sono equiprobabili. Calcola la probabilità che almeno due persone siano nate nello stesso mese.

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Da un mazzo di $40$ carte, con $4$ semi di $10$ carte ciascuno, si estrae una carta. In ogni seme le figure sono $3$: fante, cavallo e re. Calcola la probabilità che la carta estratta sia una figura oppure una carta di coppe.

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Tre lampadine si guastano in modo indipendente l’una dall’altra, con probabilità $0,1$, $0,2$ e $0,3$. Calcola la probabilità che almeno una lampadina si guasti.

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Da un mazzo di $40$ carte con $4$ assi si estraggono due carte, una dopo l’altra, senza rimettere la prima nel mazzo. Calcola la probabilità che la seconda carta sia un asso sapendo che la prima è un asso, e la probabilità che entrambe le carte siano assi.

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Una malattia colpisce il $2\%$ della popolazione. Un test è positivo nel $95\%$ dei malati e nel $10\%$ dei sani. Calcola la probabilità che una persona con il test positivo sia malata.

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Una variabile aleatoria $X$ assume i valori $-1$, $0$, $2$, $5$ con probabilità $0,2$, $0,3$, $0,4$, $0,1$. Calcola il valore medio, la varianza e la deviazione standard di $X$.

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Si estrae una carta da un mazzo di $40$ carte con $4$ assi. Se la carta è un asso si vince una somma di $v$ euro, altrimenti si perdono $3$ euro. Determina $v$ in modo che il gioco sia equo.

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In una famiglia con $4$ figli ogni figlio è maschio con probabilità $\frac{1}{2}$, indipendentemente dagli altri. Calcola la probabilità che almeno $3$ figli siano maschi.

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In un libro ci sono in media $0,5$ errori di stampa per pagina, e il numero di errori in una pagina ha distribuzione di Poisson. Calcola la probabilità che una pagina non contenga errori e la probabilità che ne contenga almeno $2$.

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Determina la costante $k$ per cui la funzione che vale $k(2x-x^2)$ per $0\le x\le 2$ e $0$ altrove è una densità di probabilità. Per la variabile aleatoria $X$ con questa densità calcola $P\left(X\le \frac{1}{2}\right)$ e il valore medio.

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Il tempo di attesa a uno sportello, in minuti, ha distribuzione esponenziale con valore medio $5$ minuti. Calcola la probabilità di aspettare più di $10$ minuti.

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Le altezze dei ragazzi di una scuola hanno distribuzione normale con $\mu =175\mathrm{cm}$ e $\sigma =6\mathrm{cm}$. Calcola la probabilità che un ragazzo scelto a caso sia alto più di $184\mathrm{cm}$, sapendo che $\Phi (1,5)=0,9332$.

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