Problemi inversi con le frazioni

Theory used: Problema inverso Frazione di una quantità Divisione di frazioni Moltiplicazione di frazioni

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Esercizio 1

Un serbatoio contiene $36$ litri d’acqua ed è pieno per $\dfrac{4}{9}$ della sua capacità. Calcola la capacità del serbatoio.

\frac{36}{4} = 9 \text{ litri} \qquad \Longrightarrow \qquad 9 \cdot 9 = 81 \text{ litri}

36 : \frac{4}{9} = 36 \cdot \frac{9}{4} = 9 \cdot 9 = 81 \text{ litri}

Si conosce la parte, cioè $36$ litri, e si cerca l’intero. I $36$ litri corrispondono a $4$ parti da $\dfrac{1}{9}$ , quindi una parte contiene $\dfrac{36}{4} = 9$ litri. Il serbatoio pieno è formato da $9$ parti, perciò la sua capacità è $9 \cdot 9 = 81$ litri.

Dividendo la parte per la frazione si ottiene lo stesso numero, perché $36 \cdot \dfrac{9}{4} = 9 \cdot 9$ . La capacità del serbatoio è quindi di $81$ litri.

Esercizio 2

Una maglia è scontata di $\dfrac{1}{4}$ del prezzo e, dopo lo sconto, costa $36$ euro. Calcola il prezzo prima dello sconto.

1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

\frac{36}{3} = 12 \text{ euro} \qquad \Longrightarrow \qquad 12 \cdot 4 = 48 \text{ euro}

Lo sconto è $\dfrac{1}{4}$ del prezzo pieno, quindi si pagano i $\dfrac{3}{4}$ del prezzo pieno. I $36$ euro corrispondono perciò a $3$ parti da un quarto.

Una parte vale $\dfrac{36}{3} = 12$ euro, e il prezzo pieno è formato da $4$ parti, cioè $12 \cdot 4 = 48$ euro. Il prezzo prima dello sconto è $48$ euro. Come controllo, lo sconto vale $\dfrac{48}{4} = 12$ euro e $48 - 12 = 36$ euro.

Esercizio 3

Anna spende $\dfrac{2}{5}$ dei suoi risparmi per un telefono e poi $\dfrac{1}{3}$ di ciò che le resta per un paio di cuffie. Alla fine le restano $120$ euro. Calcola a quanto ammontavano i risparmi.

1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5} , \qquad 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

120 : \frac{2}{5} = 120 \cdot \frac{5}{2} = 60 \cdot 5 = 300 \text{ euro}

Dopo l’acquisto del telefono ad Anna restano i $\dfrac{3}{5}$ dei risparmi. La seconda frazione, $\dfrac{1}{3}$ , si riferisce a ciò che resta, e non ai risparmi interi. Dopo le cuffie restano quindi i $\dfrac{2}{3}$ dei $\dfrac{3}{5}$ dei risparmi, cioè $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ dei risparmi.

I $\dfrac{2}{5}$ dei risparmi valgono $120$ euro. Un quinto vale perciò $\dfrac{120}{2} = 60$ euro, e i risparmi interi valgono $60 \cdot 5 = 300$ euro. I risparmi ammontavano a $300$ euro.

Come controllo, il telefono costa i $\dfrac{2}{5}$ di $300$ euro, cioè $120$ euro, e restano $180$ euro. Le cuffie costano un terzo di $180$ euro, cioè $60$ euro, e restano $180 - 60 = 120$ euro.

Esercizio 4

Per recintare un orto si è già posato $\dfrac{5}{6}$ della rete e mancano ancora $14$ m. Calcola la lunghezza totale della recinzione.

1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}

14 \cdot 6 = 84 \text{ m}

La rete posata è i $\dfrac{5}{6}$ della recinzione, quindi la parte che manca è $\dfrac{6}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$ della recinzione.

I $14$ m che mancano sono perciò una parte da un sesto. La recinzione intera è formata da $6$ parti uguali, e la sua lunghezza è $14 \cdot 6 = 84$ m. La lunghezza totale della recinzione è $84$ m.