Frazioni proprie, improprie e apparenti

Theory used: Frazione Frazioni proprie, improprie e apparenti Frazione come quoziente Frazioni sulla retta dei numeri

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Esercizio 1

Classifica le frazioni $\dfrac{3}{8}$ , $\dfrac{17}{5}$ , $\dfrac{12}{3}$ e $\dfrac{6}{6}$ in proprie, improprie e apparenti.

3 < 8 \quad \Longrightarrow \quad \frac{3}{8} \text{ è propria}

17 > 5 , \quad 17 : 5 = 3 \text{ resto } 2 \quad \Longrightarrow \quad \frac{17}{5} \text{ è impropria}

12 = 3 \cdot 4 \quad \Longrightarrow \quad \frac{12}{3} \text{ è apparente, } \frac{12}{3} = 4

6 = 6 \cdot 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{6}{6} \text{ è apparente, } \frac{6}{6} = 1

Per ogni frazione si confronta il numeratore con il denominatore. In $\dfrac{3}{8}$ il numeratore $3$ è minore del denominatore $8$ , quindi la frazione è propria e vale meno di $1$ .

In $\dfrac{17}{5}$ il numeratore è maggiore del denominatore, perciò la frazione è impropria. La divisione $17 : 5$ ha resto $2$ , quindi $17$ non è un multiplo di $5$ e la frazione non è apparente.

Il numeratore $12$ è un multiplo del denominatore $3$ , perché $12 = 3 \cdot 4$ , quindi $\dfrac{12}{3}$ è apparente e vale $4$ . Anche $6$ è un multiplo di $6$ , perché $6 = 6 \cdot 1$ , perciò $\dfrac{6}{6}$ è apparente e vale $1$ .

Esercizio 2

Scrivi le frazioni $\dfrac{17}{5}$ e $\dfrac{29}{6}$ come somma di un numero intero e di una frazione propria, e indica fra quali numeri interi consecutivi si trova ciascuna.

17 : 5 = 3 \text{ con resto } 2 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{17}{5} = 3 + \frac{2}{5}

29 : 6 = 4 \text{ con resto } 5 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{29}{6} = 4 + \frac{5}{6}

3 < \frac{17}{5} < 4 , \qquad 4 < \frac{29}{6} < 5

Nella divisione $17 : 5$ il quoziente è $3$ , perché $5 \cdot 3 = 15$ , e il resto è $17 - 15 = 2$ . I $17$ quinti formano quindi $3$ interi, cioè $15$ quinti, e avanzano $2$ quinti. Perciò $\dfrac{17}{5} = 3 + \dfrac{2}{5}$ .

Nella divisione $29 : 6$ il quoziente è $4$ , perché $6 \cdot 4 = 24$ , e il resto è $29 - 24 = 5$ . Quindi $\dfrac{29}{6} = 4 + \dfrac{5}{6}$ .

La frazione propria che avanza è maggiore di $0$ e minore di $1$ . Di conseguenza $\dfrac{17}{5}$ si trova fra $3$ e $4$ , e $\dfrac{29}{6}$ si trova fra $4$ e $5$ .

Esercizio 3

Scrivi tutte le frazioni con denominatore $4$ comprese fra $1$ e $2$ , estremi esclusi, e rappresentale sulla retta dei numeri.

1 = \frac{4}{4} , \qquad 2 = \frac{8}{4}

\frac{4}{4} < \frac{5}{4} < \frac{6}{4} < \frac{7}{4} < \frac{8}{4}

\frac{5}{4} , \qquad \frac{6}{4} = \frac{3}{2} , \qquad \frac{7}{4}

Fra

1

2

la retta divisa in quarti contiene i punti

P = \frac{5}{4}

Q = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

R = \frac{7}{4}

Per confrontare i numeri $1$ e $2$ con frazioni di denominatore $4$ , si scrivono anch’essi in quarti. Un intero contiene $4$ quarti, quindi $1 = \dfrac{4}{4}$ e $2 = \dfrac{8}{4}$ .

Le frazioni con denominatore $4$ comprese fra $\dfrac{4}{4}$ e $\dfrac{8}{4}$ hanno numeratore maggiore di $4$ e minore di $8$ , perché le parti hanno tutte la stessa grandezza. I numeratori possibili sono $5$ , $6$ e $7$ , perciò le frazioni cercate sono $\dfrac{5}{4}$ , $\dfrac{6}{4}$ e $\dfrac{7}{4}$ . La seconda si semplifica dividendo numeratore e denominatore per $2$ , e vale $\dfrac{3}{2}$ .

Sulla retta il segmento da $1$ a $2$ si divide in $4$ parti uguali. I tre punti interni di divisione corrispondono alle tre frazioni trovate.