Espressioni con le frazioni

Theory used: Espressioni con le frazioni Addizione e sottrazione di frazioni Moltiplicazione di frazioni Divisione di frazioni Potenza di una frazione

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Esercizio 1

Calcola il valore dell’espressione

\frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} .

\begin{aligned} \frac{1}{2} + \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{9} &= \frac{1}{2} + \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} \\[6pt] &= \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \\[6pt] &= \frac{3}{6} + \frac{1}{6} \\[6pt] &= \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{aligned}

Nell’espressione non ci sono parentesi, quindi la moltiplicazione si esegue prima dell’addizione. Nel prodotto $\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{9}$ si semplificano $3$ con $9$ e $2$ con $4$ , e si ottiene $\dfrac{1}{6}$ .

Il minimo comune denominatore di $2$ e $6$ è $6$ , perciò $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ . La somma è $\dfrac{4}{6}$ , che si semplifica per $2$ . Il valore dell’espressione è $\dfrac{2}{3}$ .

Esercizio 2

Calcola il valore dell’espressione

\left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{6} + \frac{1}{2} .

\begin{aligned} \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{4} \right) : \frac{5}{6} + \frac{1}{2} &= \left( \frac{8}{12} - \frac{3}{12} \right) : \frac{5}{6} + \frac{1}{2} \\[6pt] &= \frac{5}{12} : \frac{5}{6} + \frac{1}{2} \\[6pt] &= \frac{5}{12} \cdot \frac{6}{5} + \frac{1}{2} \\[6pt] &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \end{aligned}

Si calcola prima la sottrazione dentro le parentesi tonde. Con il denominatore comune $12$ si ha $\dfrac{8}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{5}{12}$ .

La divisione viene prima dell’addizione. Dividere per $\dfrac{5}{6}$ vuol dire moltiplicare per $\dfrac{6}{5}$ ; si semplificano $5$ con $5$ e $6$ con $12$ , dividendo per $6$ , e resta $\dfrac{1}{2}$ . Infine $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2}$ , quindi l’espressione vale $1$ .

Esercizio 3

Calcola il valore dell’espressione

\left[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{3} \right] \cdot \frac{12}{7} - \left( \frac{3}{2} - 1 \right)^2 .

\begin{aligned} &\left[ \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{3} \right] \cdot \frac{12}{7} - \left( \frac{3}{2} - 1 \right)^2 \\[6pt] &= \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \right] \cdot \frac{12}{7} - \left( \frac{1}{2} \right)^2 \\[6pt] &= \left[ \frac{3}{12} + \frac{4}{12} \right] \cdot \frac{12}{7} - \frac{1}{4} \\[6pt] &= \frac{7}{12} \cdot \frac{12}{7} - \frac{1}{4} \\[6pt] &= 1 - \frac{1}{4} \\[6pt] &= \frac{3}{4} \end{aligned}

Nel primo passaggio si calcolano le espressioni più interne. La potenza $\left( \dfrac{1}{2} \right)^2$ vale $\dfrac{1}{4}$ . Nella seconda parte $\dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{2} = \dfrac{1}{2}$ , e il suo quadrato è $\dfrac{1}{4}$ .

Dentro le parentesi quadre la somma $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3}$ si esegue con il denominatore comune $12$ , e vale $\dfrac{7}{12}$ . Il prodotto $\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{12}{7}$ è il prodotto di una frazione per il suo reciproco, quindi vale $1$ .

Resta la sottrazione $1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4}$ , e l’espressione vale $\dfrac{3}{4}$ .

Esercizio 4

Calcola il valore dell’espressione

\left\{ \left[ \frac{3}{5} + \frac{1}{2} : \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) \right] \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{2} \right\}^3 .

\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}

\frac{3}{5} + \frac{1}{2} : \frac{1}{4} = \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot 4 = \frac{3}{5} + 2 = \frac{13}{5}

\frac{13}{5} \cdot \frac{5}{13} - \frac{3}{2} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}

\left( -\frac{1}{2} \right)^3 = -\frac{1}{8}

Si parte dalla differenza $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}$ , che è l’espressione più interna. Con il denominatore comune $4$ la differenza vale $\dfrac{1}{4}$ .

Dentro le parentesi quadre la divisione viene prima dell’addizione. Il reciproco di $\dfrac{1}{4}$ è $4$ , quindi $\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$ . Poi $\dfrac{3}{5} + 2 = \dfrac{3}{5} + \dfrac{10}{5} = \dfrac{13}{5}$ .

Dentro le parentesi graffe il prodotto $\dfrac{13}{5} \cdot \dfrac{5}{13}$ vale $1$ , perché le due frazioni sono una il reciproco dell’altra. La sottrazione $1 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{2}{2} - \dfrac{3}{2}$ dà $-\dfrac{1}{2}$ .

Infine si eleva al cubo. La base è negativa e l’esponente è dispari, perciò il risultato è negativo, e l’espressione vale $-\dfrac{1}{8}$ .